Ορισμένες φαινομενικά απλές ακολουθίες πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης μεγαλώνουν τόσο γρήγορα, ώστε θέτουν υπό αμφισβήτηση τα ίδια τα θεμέλια των μαθηματικών. Και μαζί ζητούν ένα εντελώς νέο επίπεδο λογικής.
Έχετε ακούσει την ιστορία για τον άνθρωπο που εφηύρε το σκάκι και εκτελέστηκε; Ο θρύλος λέει πως ένας άνδρας με το όνομα Σέσα, που έζησε στην Ινδία πριν από πολλά χρόνια, διαμόρφωσε τους κανόνες του παιχνιδιού και τους παρουσίασε σε έναν βασιλιά. Ο βασιλιάς ενθουσιάστηκε και του προσέφερε όποια ανταμοιβή ήθελε.
Ο Σέσα ζήτησε κάτι που έμοιαζε ταπεινό: ρύζι. Μόνο έναν κόκκο στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, διπλάσιο στο δεύτερο, πάλι διπλάσιο στο τρίτο και έτσι σε όλα τα 64 τετράγωνα. Όμως ήταν υπερβολικά έξυπνος για το καλό του. Αν κάνετε τον λογαριασμό, το ρύζι αυτό ξεπερνούσε τη συνολική παγκόσμια παραγωγή των τελευταίων 100 ετών. Ο βασιλιάς δεν το βρήκε αστείο και διέταξε να τον εκτελέσουν.
Ο θρύλος αυτός λειτουργούσε πάντα ως προειδοποίηση για τη δύναμη της εκθετικής αύξησης. Όμως, όπως φαίνεται, ωχριά μπροστά σε αυτό που ακολουθεί. Η εκθετική αύξηση αποδεικνύεται μάλλον βραδυκίνητη σε σχέση με ορισμένα μαθηματικά διαδικασίες που ανακάλυψαν οι ερευνητές και παράγουν αριθμούς τόσο τεράστιους, ώστε το σκακιέρα με το ρύζι του Σέσα —18 εξακισεκατομμύρια κόκκοι για όσους κρατούν σημειώσεις— μοιάζει σχεδόν ασήμαντη.
Οι υπερ-επιταχυνόμενες αυτές διαδικασίες δεν είναι απλώς εντυπωσιακές. Παραβιάζουν θεωρητικά όρια ταχύτητας που θεωρούνταν δεδομένα επί δεκαετίες, πράγμα που σημαίνει ότι η μελέτη τους είναι καθοριστική για την κατανόηση των λογικών θεμελίων των ίδιων των αριθμών.
Ως μαθηματικός και συγγραφέας, βρίσκω εντυπωσιακό πόσο συχνά οι άνθρωποι στην ιστορία χρησιμοποίησαν αριθμούς πολύ μεγαλύτερους απ’ ό,τι απαιτούσε οποιοσδήποτε πρακτικός σκοπός. Σε αρχαιολογικούς χώρους της αρχαίας Βαβυλώνας, φέρνουμε στο φως πινακίδες όπου οι λόγιοι υπολόγιζαν με σχολαστικότητα τιμές έως και 9 11 x 12 39, που αντιστοιχούν σε περισσότερα άτομα από όσα έχει ο πλανήτης Γη σε άτομα. Ο Αρχιμήδης υπολόγισε κάποτε πόσοι κόκκοι άμμου θα χρειάζονταν για να γεμίσει το σύμπαν. Και στην Κεντρική Αμερική, οι κλασικοί Μάγιας συλλογίζονταν χρονικές κλίμακες της τάξης των οκτισεκατομμυρίων ετών, πολύ μεγαλύτερες από την ηλικία του σύμπαντός μας.
Αυτοί οι πρωτοπόροι είναι ένας από τους λόγους που έγραψα το βιβλίο μου, Huge Numbers. Όμως μια από τις πιο συναρπαστικές ιστορίες που συνάντησα ήταν πολύ πιο πρόσφατη και αφορούσε το πώς οι ακολουθίες αριθμών που μεγαλώνουν γρήγορα επηρεάζουν το δικό μου πεδίο μελέτης, τη μαθηματική λογική, έναν κλάδο που αναλύει τις μαθηματικές αποδείξεις. Πρόκειται για αδιάσειστες αποδείξεις ότι κάτι είναι αληθές, χτισμένες μέσα από μια αδιάκοπη αλυσίδα λογικών συμπερασμάτων. Μπορεί να είναι εξαιρετικά δύσκολο να διατυπωθούν, αλλά όταν διατυπωθούν, παραμένουν αληθείς για πάντα. Αυτό τις κάνει τη σταθερότερη και πιο διαρκή μορφή γνώσης που διαθέτουμε, αντικείμενο φθόνου για επιστήμονες άλλων πεδίων.
Αλλά υπάρχει ένα ζήτημα: οι αποδείξεις πρέπει να ξεκινούν από κάπου. Αυτές οι αρχικές παραδοχές είναι τα αξιώματα των μαθηματικών, τα οποία αναγκαζόμαστε να θεωρήσουμε αυτονόητα αληθή. Στα τέλη του 19ου αιώνα, οι λογικοί —μεταξύ τους και ο Ιταλός στοχαστής Τζουζέπε Πεάνο— άρχισαν να εξετάζουν ένα ερώτημα μεγάλης σημασίας: σε ποια αξιώματα πρέπει να στηρίζεται το σύστημα των αριθμών μας; Οι απαντήσεις του Πεάνο επικεντρώνονται σε αυτό που ονομάζεται διαδοχή, δηλαδή στη διαδικασία που περνά από έναν αριθμό στον επόμενο: από το 0 στο 1, από το 1 στο 2, από το 2 στο 3. Στις ιδέες του περιλαμβάνεται και η παρατήρηση ότι αν δύο αριθμοί έχουν τον ίδιο διάδοχο, τότε πρέπει εξαρχής να ήταν ο ίδιος αριθμός. Καμία σπουδαία αποκάλυψη για τα μέτρα της ιστορίας. Κι όμως, η διαδοχή είναι ο μηχανισμός μέσω του οποίου οι μαθηματικές αλήθειες διαχέονται στο αριθμητικό σύστημα. Ξεκινώντας από εδώ, μπορεί κανείς να χτίσει την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Ο Πεάνο είχε φτάσει στην καρδιά της αριθμητικής.
Η αριθμητική περιλαμβάνει μερικά από τα πιο απλά μαθηματικά: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση.
Όμως σύντομα εμφανίστηκε ένα σύννεφο στον ορίζοντα. Το 1931, ο Κουρτ Γκέντελ παρουσίασε το περίφημο θεώρημα μη πληρότητας, μια απόδειξη ότι οι άνθρωποι δεν θα μπορέσουν ποτέ να γράψουν έναν πλήρη κανόνα για την αριθμητική. Αυτό σημαίνει ότι το εγχειρίδιο κανόνων του Πεάνο —και κάθε πιθανό υποκατάστατό του— δεν μπορεί να είναι απόλυτα ολοκληρωμένο. Υπάρχουν αληθείς προτάσεις για τους αριθμούς που δεν μπορούν να εξαχθούν από αυτό. Για τους λογικούς, ήταν ένα βαθύ σοκ. Στα χρόνια που ακολούθησαν, όμως, διαπίστωσαν ότι το εγχειρίδιο του Πεάνο γενικά παρέμενε σταθερό. Όπως είχε προαναγγείλει ο Γκέντελ, όντως εμφάνιζε ρωγμές, αλλά μόνο σε περιοχές που προσεγγίζονταν με αινιγματικά λογικά τεχνάσματα και όχι μέσα από την καθημερινή μαθηματική έρευνα.
Μια συνέπεια του εγχειριδίου του Πεάνο που σπάνια προσέχεται είναι ότι επιβάλλει ένα όριο ταχύτητας στις μαθηματικές διαδικασίες που μπορούμε να χειριστούμε. Το λέω σπάνια προσέχεται, γιατί για το μεγαλύτερο μέρος της ιστορίας των μαθηματικών αυτό το όριο βρισκόταν πολύ πέρα από οτιδήποτε χρειαζόταν να απασχολήσει ακόμα και τους επαγγελματίες μαθηματικούς. Όμως αυτό άρχισε πρόσφατα να αλλάζει.
Η μεταακολουθία του Goodstein
Η πρώτη ένδειξη ότι το ταχύμετρο άρχισε να ανεβαίνει εμφανίστηκε με μια ακολουθία που ανακάλυψε ο Reuben Goodstein τη δεκαετία του 1940. Επιλέξτε έναν αρχικό αριθμό. Ας πούμε το 19. Γράψτε τον στη βάση 2 για να πάρετε 2 4 + 2 + 1. Πριν προχωρήσουμε, πρέπει επίσης να ξαναγράψουμε τους εκθέτες στη βάση 2, ώστε να φαίνονται μόνο τα ψηφία 1 και 2: 2 2 2 + 2 + 1. Τώρα είμαστε έτοιμοι για τη διαδικασία δύο βημάτων του Goodstein. Πρώτο βήμα: αντικαταστήστε κάθε 2 με 3. Δεύτερο βήμα: αφαιρέστε 1. Έτσι παίρνουμε: 3 3 3 + 3. Στη συνέχεια περνάμε στον επόμενο όρο της ακολουθίας, αντικαθιστώντας αυτή τη φορά κάθε 3 με 4 και αφαιρώντας 1.
Πρόκειται αναμφίβολα για μια ακολουθία που μεγαλώνει πολύ γρήγορα: οι τρεις πρώτοι όροι είναι 19, πάνω από 7 τρισεκατομμύρια και έπειτα ένας αριθμός μεγαλύτερος από 10 10,000,000. Η εντυπωσιακή ανακάλυψη του Goodstein το 1944 ήταν όμως ότι, αν επαναλάβετε τη διαδικασία αρκετά, η ακολουθία τελικά σταθεροποιείται, μειώνεται και επιστρέφει στο μηδέν. Το βλέπουμε αυτό αν ξεκινήσουμε από μικρότερο αριθμό, όπως το 2. Η ακολουθία είναι: 2, 2, 1, 0. Αν ξεκινήσουμε από το 3, χρειάζονται έξι κινήσεις για να φτάσει στο μηδέν. Και αν ξεκινήσουμε από το 4; Το συμπέρασμα του Goodstein ισχύει και τότε, αλλά χρειάζονται περισσότερα από 10 100,000,000 βήματα για να επιστρέψει στο μηδέν.
Αυτό που μόλις περιγράψαμε είναι η μεταακολουθία του Goodstein, δηλαδή η ακολουθία των μηκών των διαδοχικών ακολουθιών Goodstein. Αποδεικνύεται ότι πρόκειται για μια μαθηματική διαδικασία που σπάει το συνήθη αριθμητικό όριο ταχύτητας που επιβάλλουν οι κανόνες του Πεάνο. Μόνο ο έκτος όρος της —δηλαδή το μήκος της ακολουθίας Goodstein που ξεκινά από το 6— ανήκει σε έναν κόσμο αριθμών που ακόμη και ο εξερευνητής των μεγάλων αριθμών Donald Knuth χαρακτήρισε «πέρα από κάθε κατανόηση». Ας φανταστούμε ότι προσπαθούμε να τον περιγράψουμε με έναν πύργο εκθετών, στο πνεύμα του 10 10 10, αλλά με τα δεκάρια να υψώνονται ξανά και ξανά. Αυτός ο πύργος θα έπρεπε να είναι τόσο ψηλός, ώστε το ύψος του να μπορεί να περιγραφεί μόνο από έναν άλλο πύργο, του οποίου το ύψος θα δινόταν από έναν ακόμη πύργο, και ούτω καθεξής, επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία για περισσότερο χρόνο απ’ όσο διαρκεί η ζωή του σύμπαντος. Και όλα αυτά, ας το θυμόμαστε, μόνο για τον έκτο όρο της μεταακολουθίας του Goodstein.
Κανονικά, οι μαθηματικοί ξεκινούν από μια εικασία —δηλαδή μια μαθηματική πρόταση που πιστεύουν ότι είναι αληθής— και προσπαθούν να την αποδείξουν. Το 1982, όμως, ο Jeff Paris και η Laurie Kirby έθεσαν το αντίστροφο ερώτημα για το έργο του Goodstein. Πήραν την απόδειξη ότι η ακολουθία επιστρέφει πάντα στο μηδέν και ρώτησαν ποια αξιώματα χρειάζονται για να σταθεί αυτή η απόδειξη. Η απάντηση ήταν πως τα αξιώματα του Πεάνο δεν αρκούσαν. Αυτό ήταν μεγάλο νέο. Το θεώρημα του Goodstein ενδιέφερε ευρέως τα μαθηματικά, και όμως αποτέλεσε το πρώτο χειροπιαστό παράδειγμα της μη πληρότητας για την οποία είχε προειδοποιήσει ο Γκέντελ, χωρίς κανένα λογικό τέχνασμα να βρίσκεται σε κοινή θέα.
Ήταν μια θεαματική πρώιμη ανακάλυψη σε έναν τομέα που αργότερα έγινε γνωστός ως αντίστροφα μαθηματικά. Στα χέρια του πρωτοπόρου λογικού Harvey Friedman, εξελίχθηκε σε πλήρες ερευνητικό πρόγραμμα. Καμία από τις επιτυχίες του δεν ήταν πιο εντυπωσιακή από εκείνη που αφορούσε το θεώρημα των γραφικών μειοψηφιών.
Το θεώρημα αυτό, που αποδείχθηκε μέσα από 20 τεχνικές εργασίες των Neil Robertson και Paul Seymour μεταξύ 1983 και 2004, αποτελεί ορόσημο της σύγχρονης μαθηματικής σκέψης και άλλαξε τη μελέτη των αφηρημένων δικτύων που ονομάζονται γράφοι. Ένας γράφος αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό κόμβων, ορισμένοι από τους οποίους συνδέονται με γραμμές που ονομάζονται ακμές. Τέτοιες δομές εμφανίζονται παντού, από τη μοριακή χημεία έως τον παγκόσμιο ιστό, επηρεάζοντας σχεδόν κάθε κλάδο της επιστήμης.
Σ’ αυτό το πλαίσιο, ως “minor” ορίζεται ένας μικρότερος γράφος που προκύπτει από τον μεγαλύτερο με απλές πράξεις, όπως η αφαίρεση ακμών. Τα minors είναι για τους γονικούς γράφους ό,τι το μπετόν και ο χάλυβας για έναν ουρανοξύστη — ο μαθηματικός σκελετός του. Είναι κρίσιμα για την κατανόηση των δικτύων από τη δεκαετία του 1930.
Η θεωρία γράφων έχει αποδειχθεί χρήσιμη για τη μοντελοποίηση πολύπλοκων δικτύων κάθε είδους, συμπεριλαμβανομένων των ενεργειακών υποδομών.
Το θεμελιώδες θεώρημα των Robertson και Seymour έδειξε ότι αν συνεχίσετε να σχεδιάζετε μια ακολουθία γράφων, τότε, ό,τι κι αν κάνετε —είτε προχωρήσετε τυχαία είτε ακολουθήσετε ένα προσεκτικό σχέδιο— αργά ή γρήγορα θα προκύψει ένα ζευγάρι όπου ο ένας κρύβεται μέσα στον άλλον ως minor. Με άλλα λόγια, είναι αδύνατο να παράγει κανείς μια άπειρη συλλογή πεπερασμένων γραφών όπου κανένας δεν είναι minor κάποιου άλλου. Αυτό κάθε άλλο παρά προφανές είναι, και οι συνέπειές του υπήρξαν βαθιές. Στην πραγματικότητα, η απόδειξη γέννησε έναν ολόκληρο νέο κλάδο των μαθηματικών, τη δομική θεωρία γράφων, η οποία με τη σειρά της δημιούργησε ένα ισχυρό εργαλείο για την εκτίμηση της πολυπλοκότητας κάθε λογής δικτύων, από τα συγκοινωνιακά μέχρι τα δίκτυα ηλεκτρικής ενέργειας.
Πριν προχωρήσουμε, αξίζει να σημειωθεί ότι, παρά όσα ίσως φαίνονται, δεν βγήκαμε έξω από τα όρια της αριθμητικής. Οι γράφοι μπορεί να περιλαμβάνουν διαγράμματα, όμως εξακολουθούν να περιγράφονται εύκολα με απλούς αριθμούς και αριθμητική. Σε αυτό το πλαίσιο, το θεώρημα των γραφικών μειοψηφιών είχε επίσης βαθιές συνέπειες για τα θεμέλια των μαθηματικών. Όταν οι Robertson και Seymour συνεργάστηκαν με τον δημιουργό των αντίστροφων μαθηματικών, τον Friedman, έδειξαν ότι κάθε απόδειξη του θεωρήματος των γραφικών μειοψηφιών αναγκαστικά ξεπερνά τα τυπικά αξιώματα της αριθμητικής — και αυτή τη φορά οι απαιτούμενοι κανόνες δεν βρίσκονται απλώς λίγο έξω από τα συνηθισμένα όρια, όπως στη μεταακολουθία του Goodstein, αλλά βαθιά στη λογική άγρια φύση. Από αυτή την ιδέα, το 2006, ο Friedman ανακάλυψε μία από τις ταχύτερα αναπτυσσόμενες ακολουθίες που έχουν γίνει γνωστές μέχρι σήμερα στα ευρύτερα μαθηματικά.
Για να καταλάβουμε πόσο απότομα το θεώρημα των γραφικών μειοψηφιών σπάει το όριο ταχύτητας, χρειάζεται να μπούμε λίγο πιο βαθιά στα συστήματα αξιωμάτων που αναπτύχθηκαν μετά την εποχή του Πεάνο. Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν πέντε επίπεδα αξιωμάτων αυξανόμενης πολυπλοκότητας, με τη σύγχρονη εκδοχή του εγχειριδίου του Πεάνο να βρίσκεται στο τρίτο επίπεδο. Τα δύο συστήματα που βρίσκονται πάνω από αυτό είναι η αρρυθμητική υπερπεπερασμένη αναδρομή και η Π1,1 κατανόηση. Ενώ η λογική του Πεάνο βασίζεται αποκλειστικά στις ιδιότητες των ίδιων των αριθμών, οι πιο προχωρημένοι κανόνες περιστρέφονται γύρω από τα «σύνολα».
Ένα σύνολο δεν είναι παρά μια συλλογή αριθμών. Μπορεί, για παράδειγμα, να είναι το σύνολο όλων των αριθμών που τελειώνουν σε 3 ή των πρώτων αριθμών. Όμως πέρα από τέτοια εύκολα περιγράψιμα σύνολα υπάρχει ένας λαβύρινθος από άπειρα σύνολα αριθμών που αντιστέκονται σε κάθε απλή περιγραφή. Τα σύνολα είναι μια αφηρημένη ιδέα που έδωσε μεγάλη δύναμη στα μαθηματικά. Βασίζοντας τους κανόνες της αριθμητικής σε αυτά —ιδίως σε σύνολα που είναι μεμονωμένα τυχαία ή δύσκολα προσβάσιμα— αυξάνεται η λογική ισχύς του εγχειριδίου και επιτρέπονται υψηλότερα όρια ταχύτητας.
Τώρα, με εξαίρεση το θεώρημα του Goodstein, οι κανόνες του Πεάνο αρκούσαν για τη συνηθισμένη αριθμητική. Τα ανώτερα επίπεδα κανόνων αναπτύχθηκαν ως θεμέλιο για πολύ πιο σύνθετους κλάδους των μαθηματικών. Παρ’ όλα αυτά, ο Friedman, ο Robertson και ο Seymour έδειξαν ότι…
