Το θεώρημα ατελότητας του Κουρτ Γκέντελ θεωρείται σήμερα θεμέλιο των μαθηματικών, αλλά όταν εμφανίστηκε έσκασε σαν βόμβα. Με μια κίνηση, ο νεαρός λογικολόγος περιόρισε οριστικά το όραμα του Ντέιβιντ Χίλμπερτ για ένα πλήρως ασφαλές μαθηματικό σύστημα.
Το θεώρημα ατελότητας του Κουρτ Γκέντελ θεωρείται σήμερα κομμάτι του μαθηματικού κανόνα, όμως όταν πρωτοπαρουσιάστηκε ανέτρεψε όσα πίστευαν οι κορυφαίοι μαθηματικοί της εποχής. Ο Γκέντελ, ένας από τους σημαντικότερους στοχαστές του 20ού αιώνα, δεν έδωσε απλώς απάντηση σε ένα παλιό πρόβλημα. Έδειξε ότι τα μαθηματικά έχουν όρια, και μάλιστα όρια που δεν ξεπερνιούνται από μέσα προς τα έξω.
Η ιστορία αρχίζει στα τέλη του 19ου αιώνα, όταν οι μαθηματικοί άρχισαν να ξηλώνουν τα ίδια τα θεμέλια του κλάδου τους. Παράδοξα και αντιφάσεις έβγαιναν στην επιφάνεια, φέρνοντας πανικό σε ένα οικοδόμημα που για αιώνες έμοιαζε ακλόνητο. Το 1900, ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ ανέλαβε να βάλει τάξη. Στο Παρίσι παρουσίασε 23 ανοιχτά προβλήματα και έθεσε στόχο να στηριχθούν ξανά τα μαθηματικά σε στέρεη βάση. Το δεύτερο από αυτά τα προβλήματα ζητούσε να αποδειχθεί ότι τα αξιώματα της αριθμητικής δεν οδηγούν ποτέ σε αντίφαση. Με απλά λόγια, ότι οι κανόνες του παιχνιδιού δεν μπορούν να παράγουν ταυτόχρονα δύο αντικρουόμενα αποτελέσματα.
Για να πλησιάσει αυτόν τον στόχο, ο Χίλμπερτ και οι συνεργάτες του ανέπτυξαν τη θεωρία αποδείξεων, μια μέθοδο που μετατρέπει τις ίδιες τις αποδείξεις σε μαθηματικά αντικείμενα. Ήθελαν να μελετήσουν τις αποδείξεις με τα εργαλεία των μαθηματικών, σαν να έγραφαν μια συνταγή για το πώς φτιάχνονται οι συνταγές. Το 1928 ο Χίλμπερτ δήλωνε αισιόδοξος ότι η μέθοδος αυτή θα επέτρεπε την οριστική επίλυση των θεμελιωδών ερωτημάτων. Εκείνη την περίοδο, ο 22χρονος τότε Γκέντελ έκανε το διδακτορικό του στη Βιέννη και το 1930 παρουσίασε το θεώρημα πληρότητας, ένα βήμα που έμοιαζε να στηρίζει το πρόγραμμα του Χίλμπερτ. Λίγους μήνες αργότερα όμως ήρθε η ανατροπή.
Στις 7 Σεπτεμβρίου 1930, σε συζήτηση με άλλους λογικολόγους στο Κένιγκσμπεργκ, ο Γκέντελ άφησε να φανεί ότι είχε εντοπίσει την ύπαρξη «αποφασιστικά μη αποφάνσιμων» προτάσεων: προτάσεων που δεν μπορούν να αποδειχθούν ούτε αληθείς ούτε ψευδείς μέσα από ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων. Το πρώτο θεώρημα ατελότητας λέει ακριβώς αυτό, ότι για οποιαδήποτε αξιώματα υπάρχουν πάντα ερωτήματα που μένουν εκτός του συστήματος. Το δεύτερο πήγε ακόμη πιο βαθιά: έδειξε ότι ένα αρκετά ισχυρό σύνολο αξιωμάτων δεν μπορεί να αποδείξει από μόνο του πως είναι συνεπές, δηλαδή πως δεν θα γεννήσει αντιφάσεις. Έτσι, το ζητούμενο του Χίλμπερτ έμενε ανέφικτο μέσα στο ίδιο το πλαίσιο που είχε οριστεί.
Ο Χίλμπερτ δεν αντέδρασε δημόσια με τον τρόπο που ίσως θα περίμενε κανείς. Ο Γκέντελ του έστειλε σχέδιο της εργασίας του μέσω του βοηθού του, Πάουλ Μπερνάις, και αργότερα κυκλοφόρησε και η τελική δημοσίευση. Η μόνη γνωστή απάντηση του Χίλμπερτ ήρθε το 1934, όταν σε βιβλίο με τον Μπερνάις έγραψε ότι η άποψη πως τα πρόσφατα αποτελέσματα του Γκέντελ δείχνουν αδυναμία της θεωρίας αποδείξεων έχει αποδειχθεί λανθασμένη. Παρ’ όλα αυτά, το θεώρημα ατελότητας έμεινε και καθιερώθηκε ως βασικό όριο της μαθηματικής γνώσης, αλλάζοντας για πάντα το πεδίο που ο Χίλμπερτ ήθελε να κάνει απόλυτα ασφαλές.
