Ορισμένες φαινομενικά απλές ακολουθίες πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης μεγαλώνουν τόσο γρήγορα, ώστε αμφισβητούν τα ίδια τα θεμέλια των μαθηματικών. Και μαζί τους ζητούν ένα εντελώς νέο επίπεδο λογικής.
Έχετε ακούσει την ιστορία του ανθρώπου που ανακάλυψε το σκάκι και καταδικάστηκε σε θάνατο; Ο θρύλος λέει πως ένας άνδρας με το όνομα Σέσα, που έζησε κάποτε στην Ινδία, διαμόρφωσε τους κανόνες του παιχνιδιού και τους παρουσίασε σε έναν βασιλιά. Ο βασιλιάς ενθουσιάστηκε και του προσέφερε ό,τι ήθελε ως ανταμοιβή.
Ο Σέσα ζήτησε μια φαινομενικά ταπεινή ποσότητα ρυζιού. Έναν κόκκο στο πρώτο τετράγωνο της σκακιέρας, διπλάσιους στο δεύτερο, ξανά διπλάσιους στο τρίτο και ούτω καθεξής για όλα τα 64 τετράγωνα. Όμως είχε υπολογίσει χωρίς τον ξενοδόχο. Αν κάνετε τις πράξεις, πρόκειται για περισσότερο ρύζι από τη συνολική παγκόσμια σοδειά του τελευταίου αιώνα. Ο βασιλιάς δεν το βρήκε αστείο και τον θανάτωσε.
Αυτός ο θρύλος λειτουργεί πάντα ως προειδοποιητική ιστορία για τη δύναμη της εκθετικής ανάπτυξης. Αλλά, ειλικρινά, δεν συγκρίνεται με αυτό που ακολουθεί. Γιατί αποδεικνύεται ότι η εκθετική ανάπτυξη είναι σχεδόν αργή. Ερευνητές έχουν ανακαλύψει μαθηματικές διαδικασίες που μεγαλώνουν με πολύ μεγαλύτερη ταχύτητα, παράγοντας σε ελάχιστο χρόνο αριθμούς τόσο τεράστιους, ώστε η σκακιέρα του Σέσα με το ρύζι –18 quintillion κόκκοι για όσους κρατούν σημειώσεις– μοιάζει αμελητέα.
Γιατί οι μαθηματικοί θέλουν να καταστρέψουν το άπειρο — και ίσως τα καταφέρουν
Αυτές οι υπερταχείς διαδικασίες δεν είναι μόνο εντυπωσιακές. Παραβιάζουν επίσης μακροχρόνια θεωρητικά όρια ταχύτητας, κάτι που σημαίνει ότι η μελέτη τους παίζει καθοριστικό ρόλο στην κατανόηση των λογικών θεμελίων των ίδιων των αριθμών.
Ως μαθηματικός και συγγραφέας, με εντυπωσιάζει πόσο συχνά οι άνθρωποι στην ιστορία συλλογίζονταν με αριθμούς πολύ μεγαλύτερους από ό,τι απαιτεί οποιαδήποτε πρακτική ανάγκη. Σε αρχαιολογικούς χώρους της αρχαίας Βαβυλώνας, έχουν έρθει στο φως πινακίδες όπου λόγιοι υπολόγιζαν με επιμέλεια τιμές έως και 9 11 x 12 39, κάτι που ξεπερνά τον αριθμό των ατόμων στον πλανήτη Γη. Ο Αρχιμήδης υπολόγισε κάποτε πόσοι κόκκοι άμμου θα χρειάζονταν για να γεμίσει το σύμπαν. Και στην Κεντρική Αμερική, οι κλασικοί Μάγιας συλλογίζονταν χρονικές κλίμακες της τάξης των οκτισεκατομμυρίων ετών, πολύ μεγαλύτερες από την ηλικία του σύμπαντός μας.
Αυτοί οι πρωτοπόροι είναι εν μέρει ο λόγος που έγραψα το βιβλίο μου, Huge Numbers. Όμως μία από τις πιο συναρπαστικές ιστορίες που συνάντησα ήταν πολύ πιο πρόσφατη και αφορούσε το πόσο γρήγορα εξελισσόμενες ακολουθίες αριθμών επηρεάζουν τον δικό μου κλάδο, τη μαθηματική λογική. Πρόκειται για μια επιστήμη που αναλύει μαθηματικές αποδείξεις. Αυτές είναι αδιάσειστες επιδείξεις ότι κάτι είναι αληθές, χτισμένες μέσα από μια αδιάκοπη αλυσίδα λογικών συμπερασμάτων. Είναι δύσκολο να τις επινοήσει κανείς, αλλά όταν διατυπωθούν, παραμένουν αληθινές για πάντα. Γι’ αυτό αποτελούν τη σταθερότερη και πιο διαρκή μορφή γνώσης μας, αντικείμενο ζήλιας για επιστήμονες άλλων πεδίων.
Incredible maths proof is so complex that almost no one can explain it
Το ζήτημα, όμως, είναι το εξής: οι αποδείξεις πρέπει να ξεκινούν από κάπου. Αυτές οι αρχικές παραδοχές είναι τα αξιώματα των μαθηματικών, τα οποία αναγκαζόμαστε να θεωρούμε αυταπόδεικτα αληθή. Στα τέλη του 19ου αιώνα, λογικοί, ανάμεσά τους και ο Ιταλός στοχαστής Τζουζέπε Πεάνο, άρχισαν να εξετάζουν ένα ερώτημα μεγάλης σημασίας: ποια είναι τα αξιώματα πάνω στα οποία πρέπει να στηρίζεται το αριθμητικό μας σύστημα; Οι απαντήσεις του Πεάνο επικεντρώνονται σε αυτό που ονομάζεται διαδοχή, δηλαδή στη διαδικασία που περνά από έναν αριθμό στον επόμενο: από το 0 στο 1, από το 1 στο 2, από το 2 στο 3. Στις ιδέες του περιλαμβάνεται και η παρατήρηση ότι αν δύο αριθμοί έχουν τον ίδιο διάδοχο, τότε πρέπει εξαρχής να ήταν ο ίδιος αριθμός. Δεν πρόκειται ακριβώς για μία από τις μεγάλες αποκαλύψεις της ιστορίας. Όμως η διαδοχή είναι ο τρόπος με τον οποίο οι μαθηματικές αλήθειες εξαπλώνονται μέσα στο αριθμητικό σύστημα. Ξεκινώντας από εκεί, μπορείς να χτίσεις την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Ο Πεάνο είχε φτάσει στην καρδιά της αριθμητικής.
Η αριθμητική περιλαμβάνει μερικά από τα πιο απλά μαθηματικά: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση Leon Neal/Getty Images
Η αριθμητική περιλαμβάνει μερικά από τα πιο απλά μαθηματικά: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση
Leon Neal/Getty Images
Σύντομα, όμως, εμφανίστηκε ένα σύννεφο στον ορίζοντα. Το 1931, ο Κουρτ Γκέντελ παρουσίασε το περίφημο θεώρημα της μη πληρότητας, μια απόδειξη ότι οι άνθρωποι δεν θα μπορέσουν ποτέ να γράψουν έναν εξαντλητικό κανόνα για την αριθμητική. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα κανόνων του Πεάνο –και κάθε πιθανή αντικατάστασή του– δεν μπορεί να είναι πλήρως περιεκτικό. Υπάρχουν αληθείς προτάσεις για τους αριθμούς που δεν μπορούν να εξαχθούν από αυτό. Για τους λογικούς, ήταν ένα βαθύ σοκ. Ωστόσο, στα χρόνια που ακολούθησαν, διαπίστωσαν ότι το σύστημα του Πεάνο παρέμενε γενικά σταθερό. Όπως είχε προβλέψει ο Γκέντελ, όντως παρουσίαζε αστοχίες, αλλά μόνο σε περιοχές που προσεγγίζονταν μέσω σκοτεινών λογικών τεχνασμάτων και όχι μέσω της συνηθισμένης μαθηματικής έρευνας.
Μια συνέπεια του συστήματος του Πεάνο που περνά συχνά απαρατήρητη είναι ότι επιβάλλει ένα όριο ταχύτητας στις μαθηματικές διαδικασίες που μπορούμε να χειριστούμε. Λέω ότι περνά απαρατήρητη, γιατί για το μεγαλύτερο μέρος της ιστορίας των μαθηματικών αυτό το όριο βρισκόταν πολύ πέρα από οτιδήποτε χρειαζόταν να απασχολήσει ακόμη και τους επαγγελματίες μαθηματικούς. Όμως αυτό άρχισε πρόσφατα να αλλάζει.
Η μεταακολουθία του Goodstein
Η πρώτη ένδειξη ότι ο δείκτης ταχύτητας άρχισε να ανεβαίνει ήταν μια ακολουθία που ανακάλυψε ο Ρούμπεν Γκούντσταϊν τη δεκαετία του 1940. Επιλέγετε έναν αρχικό αριθμό. Ας πούμε το 19. Τον γράφετε στη βάση 2 και προκύπτει 2 4 + 2 + 1. Πριν ξεκινήσουμε, πρέπει επίσης να ξαναγράψουμε τους εκθέτες στη βάση 2, ώστε τα μόνα ορατά ψηφία να είναι 1 και 2: 2 2 2 + 2 + 1. Τώρα είμαστε έτοιμοι για τη διπλή διαδικασία του Γκούντσταϊν. Πρώτο βήμα, αντικαθιστούμε κάθε 2 με 3. Δεύτερο βήμα, αφαιρούμε 1. Έτσι παίρνουμε: 3 3 3 + 3. Στη συνέχεια περνάμε στον επόμενο όρο της ακολουθίας, αντικαθιστώντας αυτή τη φορά κάθε 3 με 4 και αφαιρώντας 1.
Πρόκειται αναμφίβολα για μια διαδικασία με εκρηκτική ανάπτυξη. Οι τρεις πρώτοι όροι είναι 19, πάνω από 7 τρισεκατομμύρια και έπειτα ένας αριθμός μεγαλύτερος από 10 10,000,000. Όμως η εκπληκτική ανακάλυψη του Γκούντσταϊν το 1944 ήταν ότι αν συνεχίσετε να επαναλαμβάνετε τη διπλή διαδικασία για αρκετό χρόνο, η ακολουθία αριθμών τελικά σταθεροποιείται, αρχίζει να μειώνεται και επιστρέφει στο μηδέν. Αυτό φαίνεται καθαρά αν ξεκινήσουμε από έναν μικρότερο αριθμό, όπως το 2. Η ακολουθία είναι: 2, 2, 1, 0. Αν ξεκινήσουμε από το 3, χρειάζονται έξι κινήσεις για να φτάσουμε στο μηδέν. Τι γίνεται αν ξεκινήσουμε από το 4; Το αποτέλεσμα του Γκούντσταϊν εξακολουθεί να ισχύει, αλλά πλέον χρειάζονται περισσότερα από 10 100,000,000 βήματα για να επιστρέψει η ακολουθία στο μηδέν.
Αυτό που μόλις περιγράψαμε είναι η μεταακολουθία του Γκούντσταϊν, δηλαδή η ακολουθία των μηκών των διαδοχικών ακολουθιών του Γκούντσταϊν. Πρόκειται για μια μαθηματική διαδικασία που ξεπερνά το συνηθισμένο αριθμητικό όριο ταχύτητας που επιβάλλουν οι κανόνες του Πεάνο. Μόνο το έκτο μέλος της, δηλαδή το μήκος της ακολουθίας του Γκούντσταϊν όταν ξεκινά από το 6, ανήκει σε ένα πεδίο αριθμών που ακόμη και ο εξερευνητής των μεγάλων αριθμών Ντόναλντ Ννοθ χαρακτήρισε «πέρα από κάθε κατανόηση». Ας φανταστούμε ότι προσπαθούμε να το περιγράψουμε με έναν πύργο εκθετικών, σαν το 10 10 10, αλλά με τον πύργο των 10 να υψώνεται συνεχώς προς τα πάνω. Αυτός ο πύργος θα έπρεπε να είναι τόσο ψηλός, ώστε το ύψος του να μπορεί να περιγραφεί μόνο από έναν άλλον πύργο, του οποίου το ύψος δίνεται από έναν ακόμη πύργο, και ούτω καθεξής, επαναλαμβάνοντας το μοτίβο για διάστημα μεγαλύτερο από τη διάρκεια ζωής του σύμπαντος. Και όλα αυτά, θυμηθείτε, μόνο για το έκτο μέλος της μεταακολουθίας του Γκούντσταϊν.
Συνήθως, οι μαθηματικοί ξεκινούν από μια εικασία —δηλαδή από μια μαθηματική πρόταση που θεωρούν αληθινή— και προσπαθούν να την αποδείξουν. Το 1982, όμως, ο Τζεφ Παρίς και η Λόρι Κίρμπι έθεσαν το αντίστροφο ερώτημα για το έργο του Γκούντσταϊν. Πήραν την απόδειξή του ότι η ακολουθία θα επιστρέφει πάντα στο μηδέν και ρώτησαν ποια αξιώματα απαιτούνται γι’ αυτό. Η απάντηση, όπως προέκυψε, ήταν πως τα αξιώματα του Πεάνο δεν αρκούσαν. Αυτό ήταν μεγάλη είδηση. Το θεώρημα του Γκούντσταϊν ενδιέφερε ευρέως τα μαθηματικά και όμως αποτέλεσε το πρώτο συγκεκριμένο παράδειγμα της μη πληρότητας για την οποία είχε προειδοποιήσει ο Γκέντελ, χωρίς κανένα λογικό τέχνασμα στον ορίζοντα.
Ήταν μια εντυπωσιακή πρώιμη ανακάλυψη σε έναν τομέα που αργότερα έγινε γνωστός ως αντίστροφα μαθηματικά. Στα χέρια του πρωτοπόρου λογικού Χάρβεϊ Φρίντμαν, εξελίχθηκε σε πλήρες ερευνητικό πρόγραμμα. Καμία από τις επιτυχίες του δεν ήταν πιο θεαματική από εκείνη που αφορούσε το θεώρημα των graph minor.
Τι μας λένε 7 εξαιρετικά δύσκολα παζλ για τη φύση των μαθηματικών
Αποδειγμένο μέσα από 20 τεχνικές εργασίες των Νιλ Ρόμπερτσον και Πολ Σέιμουρ μεταξύ 1983 και 2004, το θεώρημα των graph minor αποτελεί ορόσημο των σύγχρονων μαθηματικών και μεταμορφώνει τη μελέτη των αφηρημένων δικτύων που είναι γνωστά ως γράφοι. Ένας γράφος αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό κόμβων, ορισμένοι από τους οποίους συνδέονται με γραμμές που ονομάζονται ακμές. Τέτοιες δομές εμφανίζονται παντού, από τη μοριακή χημεία μέχρι το παγκόσμιο διαδίκτυο, αγγίζοντας σχεδόν κάθε κλάδο της επιστήμης.
Ένας «minor» σε αυτό το πλαίσιο είναι ένας μικρότερος γράφος που προκύπτει από τον μεγαλύτερο μέσω συνδυασμού απλών ενεργειών, όπως η αφαίρεση ακμών. Οι minor είναι για τους γονικούς τους γράφους ό,τι το σκυρόδεμα και το ατσάλι για έναν ουρανοξύστη: ο μαθηματικός σκελετός του. Αποτέλεσαν βασικό εργαλείο για την κατανόηση των δικτύων από τη δεκαετία του 1930.
Η θεωρία γραφημάτων έχει αποδειχθεί χρήσιμη για τη μοντελοποίηση πολύπλοκων δικτύων κάθε είδους, συμπεριλαμβανομένων των ενεργειακών υποδομών Anton Petrus/Getty Images
Η θεωρία γραφημάτων έχει αποδειχθεί χρήσιμη για τη μοντελοποίηση πολύπλοκων δικτύων κάθε είδους, συμπεριλαμβανομένων των ενεργειακών υποδομών
Anton Petrus/Getty Images
Το ορόσημο θεώρημα των Ρόμπερτσον και Σέιμουρ έδειξε ότι, αν συνεχίσετε να σχεδιάζετε μια ακολουθία γράφων, τότε, ό,τι κι αν κάνετε —είτε προχωρώντας τυχαία είτε ακολουθώντας μια προσεκτική μέθοδο— αργά ή γρήγορα θα προκύψει ένα ζεύγος όπου ο ένας κρύβεται μέσα στον άλλο ως minor. Με άλλα λόγια, είναι αδύνατον να παραγάγετε μια άπειρη συλλογή πεπερασμένων γράφων όπου κανένας δεν είναι minor κάποιου άλλου. Αυτό δεν είναι καθόλου προφανές και οι συνέπειές του υπήρξαν βαθιές. Στην πραγματικότητα, η απόδειξη γέννησε έναν ολόκληρο νέο κλάδο των μαθηματικών, τη δομική θεωρία γραφημάτων, η οποία με τη σειρά της δημιούργησε ένα ισχυρό εργαλείο για την εκτίμηση της πολυπλοκότητας πολλών ειδών δικτύων, από τα δίκτυα μεταφορών μέχρι τα δίκτυα ηλεκτρικής ενέργειας.
Πριν προχωρήσουμε, αξίζει να πούμε ότι, παρά τις εντυπώσεις, δεν έχουμε βγει πέρα από τα όρια της αριθμητικής. Οι γράφοι μπορεί να περιλαμβάνουν διαγράμματα, όμως εξακολουθούν να περιγράφονται πλήρως με απλούς αριθμούς και αριθμητικές πράξεις. Σε αυτό το πλαίσιο, το θεώρημα των graph minor είχε επίσης βαθιές συνέπειες για τα θεμέλια των μαθηματικών. Όταν ο Ρόμπερτσον και ο Σέιμουρ συνεργάστηκαν με τον δημιουργό των αντίστροφων μαθηματικών, τον Φρίντμαν, απέδειξαν ότι κάθε απόδειξη του θεωρήματος των graph minor σημαίνει αναγκαστικά υπέρβαση των τυπικών αξιωμάτων της αριθμητικής. Και αυτή τη φορά, οι απαιτούμενοι νόμοι δεν βρίσκονται λίγο έξω από τις συνηθισμένες πύλες, όπως στη μεταακολουθία του Γκούντσταϊν, αλλά βαθιά στη λογική άγρια φύση. Από αυτή την ιδέα, το 2006, ο Φρίντμαν ανακάλυψε μία από τις ταχύτερα αυξανόμενες ακολουθίες που είναι γνωστές μέχρι σήμερα στα κυρίαρχα μαθηματικά (βλ. «Η πανίσχυρη υποκυβική ακολουθία γραφημάτων»).
Κατανόηση των αξιωμάτων
Για να καταλάβουμε πόσο καθαρά το θεώρημα των graph minor σπάει το όριο ταχύτητας, πρέπει να δούμε λίγο βαθύτερα τα συστήματα αξιωμάτων που έχουν αναπτυχθεί από την εποχή του Πεάνο. Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν πέντε επίπεδα αξιωμάτων αυξανόμενης πολυπλοκότητας, με τη σύγχρονη εκδοχή του συστήματος του Πεάνο να βρίσκεται στο τρίτο επίπεδο. Τα δύο ανώτερα συστήματα είναι γνωστά ως αριθητική μεταθετική αναδρομή και Π 1,1 κατανόηση. Ενώ η λογική του Πεάνο βασίζεται αποκλειστικά στις ιδιότητες των ίδιων των αριθμών, οι πιο προχωρημένοι κανόνες περιστρέφονται γύρω από τα «σύνολα».
Ένα σύνολο είναι απλώς μια συλλογή αριθμών. Μπορεί να πρόκειται, για παράδειγμα, για το σύνολο όλων των αριθμών που τελειώνουν σε 3 ή για τους πρώτους αριθμούς. Όμως πέρα από τέτοια εύκολα περιγράψιμα σύνολα υπάρχει μια χαοτική περιοχή από άπειρα σύνολα αριθμών που αντιστέκονται σε κάθε απλή περιγραφή. Τα σύνολα είναι μια αφηρημένη ιδέα που εδώ και καιρό δίνει δύναμη στα μαθηματικά. Βασίζοντας τους κανόνες της αριθμητικής σε αυτά —ιδίως σε σύνολα που είναι μεμονωμένα τυχαία ή δύσκολα προσβάσιμα— αυξάνεται η λογική ισχύς του συστήματος κανόνων και επιτρέπονται υψηλότερα όρια ταχύτητας.
Τώρα, με εξαίρεση το θεώρημα του Γκούντσταϊν, οι κανόνες του Πεάνο ήταν αρκετοί για τη συνηθισμένη αριθμητική. Τα ανώτερα επίπεδα κανόνων αναπτύχθηκαν ως θεμέλιο για πολύ πιο σύνθετους κλάδους των μαθηματικών. Παρ’ όλα αυτά, ο Φρίντμαν, ο Ρόμπερτσον και ο Σέιμουρ έδειξαν ότι η δυναμική αυτών των προβλημάτων οδηγεί πολύ πιο πέρα από ό,τι επιτρέπει η κλασική αριθμητική.
