Πώς μπορείς να έχεις μια απόδειξη χωρίς να αποδεικνύεις τίποτα; Οι μαθηματικοί βρήκαν έναν τρόπο και, στην πορεία, συγκρούστηκαν έντονα γι’ αυτόν. Έναν αιώνα αργότερα, όμως, αυτό το τέχνασμα έχει γίνει βασικό εργαλείο των σύγχρονων μαθηματικών, γράφει ο αρθρογράφος Jacob Aron.
Πώς αποδεικνύεις μια απόδειξη; Μερικές φορές, δεν το κάνεις καν.
Φανταστείτε μια μαθηματικό που ανοίγει την πόρτα του γραφείου της και βρίσκει μια μικρή φωτιά. Χωρίς πανικό, κοιτάζει γύρω της και βλέπει έναν πυροσβεστήρα. «Α, υπάρχει λύση!», λέει, πριν κλείσει την πόρτα και συνεχίσει τη μέρα της. Το ότι ξέρει πως είναι δυνατό να σβήσει τη φωτιά αρκεί ως απόδειξη ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί. Γιατί να μπει στη διαδικασία να το κάνει; Αυτό το παλιό αστείο συνοψίζει τον τρόπο με τον οποίο λειτουργεί μεγάλο μέρος των σύγχρονων μαθηματικών, χάρη σε μια πονηρή τακτική επίλυσης προβλημάτων: τη μη κατασκευαστική απόδειξη.
Η ιδέα δεν είναι εύκολο να γίνει αμέσως κατανοητή, οπότε ας δούμε ένα παράδειγμα που δεν είναι κυρίως μαθηματικό. Ας πούμε ότι υπάρχουν 367 άνθρωποι σε ένα δωμάτιο. Ποιες είναι οι πιθανότητες να μοιράζονται δύο από αυτούς τα ίδια γενέθλια; Η απάντηση είναι 100%, γιατί, αν υποθέσουμε ότι λαμβάνουμε υπόψη τα δίσεκτα έτη, υπάρχουν μόνο 366 πιθανά γενέθλια και κάθε άνθρωπος πρέπει να έχει ένα γενέθλιο. Άρα, τουλάχιστον δύο άνθρωποι θα έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης. Πρόκειται για αυτό που οι μαθηματικοί αποκαλούν «αρχή του περιστερώνα» — οι άνθρωποι είναι τα περιστέρια και τα γενέθλια είναι οι θέσεις τους — και αποτελεί κλασικό παράδειγμα μη κατασκευαστικής απόδειξης. Ξέρουμε ότι δύο άνθρωποι πρέπει να έχουν τα ίδια γενέθλια, ακόμη κι αν δεν ξέρουμε ποιοι είναι ανάμεσα στους 367.
Παραδοσιακά, οι αποδείξεις ήταν ακριβώς το αντίθετο. Όταν αποδείκνυες κάτι, συνήθως είχες εντοπίσει ένα συγκεκριμένο μαθηματικό αντικείμενο και το παρουσίαζες ξεκάθαρα. Αυτό άρχισε να αλλάζει τον 19ο αιώνα, όταν οι μη κατασκευαστικές αποδείξεις έγιναν πιο ισχυρό και πιο δημοφιλές εργαλείο στη φαρέτρα των μαθηματικών. Στην πρώτη γραμμή αυτής της νέας προσέγγισης βρέθηκε ο David Hilbert, ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς της εποχής του και, κατά τη γνώμη ορισμένων, ταραξίας.
Το πρόβλημα που μελετούσε ο Hilbert είναι σύνθετο και χρειάζεται λίγη προετοιμασία. Ας ξεκινήσουμε με ένα τετράγωνο. Μπορείς να το περιστρέψεις κατά 90 μοίρες και να παραμείνει ίδιο. Ίσως το γνωρίζετε ως περιστροφική συμμετρία. Με άλλο τρόπο, μπορούμε να πούμε ότι το τετράγωνο είναι «αναλλοίωτο» υπό περιστροφή 90 μοιρών.
Ο Hilbert ενδιαφερόταν για τα αναλλοίωτα, όχι για γεωμετρικά αντικείμενα όπως τα τετράγωνα, αλλά για αλγεβρικά, όπως οι εξισώσεις. Για μια δεδομένη κατηγορία αλγεβρικών αντικειμένων, οι μαθηματικοί είχαν συνειδητοποιήσει ότι υπάρχουν ουσιαστικά άπειρα αναλλοίωτα. Το ερώτημα ήταν πόσα χρειάζεσαι πραγματικά. Μπορείς να ξεκινήσεις από μερικά βασικά αναλλοίωτα και να τα χρησιμοποιήσεις για να χτίσεις όποιο άλλο θέλεις; Ο Hilbert δεν ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με τον εντοπισμό ενός «γεννήτορα συνόλου» για τα αναλλοίωτα. Ένας άλλος μαθηματικός, ο Paul Gordan, είχε αφιερώσει ολόκληρη την καριέρα του σε αυτό.
Ο Gordan είχε βρει πεπερασμένα γεννήτορα σύνολα για ορισμένα αντικείμενα, αλλά η απόδειξή του ήταν ακατάστατη και περίπλοκη. Έμεινε άναυδος, λοιπόν, όταν το 1888 ο Hilbert έδειξε ότι αυτό ισχύει για μια πολύ μεγαλύτερη κατηγορία αλγεβρικών αντικειμένων, χωρίς όμως να καθορίσει τη σύνθεση αυτών των γεννητόρων. Το έκανε ξεκινώντας από την υπόθεση ότι υπάρχει ένα αναλλοίωτο που δεν μπορεί να παραχθεί από ένα τέτοιο σύνολο και έπειτα έδειξε ότι αυτό θα οδηγούσε στη δημιουργία μιας ατελείωτης ακολουθίας νέων αναλλοίωτων, με τρόπο που δεν επιτρέπεται από τους αλγεβρικούς κανόνες στους οποίους στηριζόταν. Πρόκειται για λογική αντίφαση. Ο μόνος τρόπος να αρθεί η αντίφαση είναι να δεχθεί κανείς ότι το γεννήτορα σύνολο πρέπει πάντα να υπάρχει.
Η αντίδραση του Gordan σε αυτή τη μη κατασκευαστική απόδειξη ήταν αρχικά αρνητική. «Αυτό δεν είναι μαθηματικά, είναι θεολογία», είπε, σοκαρισμένος από το ότι ο Hilbert ζητούσε να πιστέψει κανείς στην ύπαρξη ενός γεννήτορα συνόλου χωρίς να τον παρουσιάζει. Αυτό δεν λογίζεται, άραγε, ως απάντηση; Αργότερα, πάντως, ο Gordan άλλαξε στάση και δήλωσε ότι «η θεολογία έχει και τα πλεονεκτήματά της».
Οι συγκρούσεις του Hilbert δεν είχαν τελειώσει. Όπως ο ίδιος ήταν κάποτε ο νεαρός διεκδικητής που αμφισβητούσε τον Gordan, έτσι εμφανίστηκε αργότερα ένας ακόμη νεότερος διεκδικητής: ο L.E.J. Brouwer. Ο Hilbert πέρασε αρκετές δεκαετίες διαμορφώνοντας τη μαθηματική φιλοσοφία του φορμαλισμού, που ουσιαστικά βλέπει τα μαθηματικά ως ένα παιχνίδι χειρισμού συμβόλων με λογικό τρόπο ώστε να προκύπτουν αποδείξεις, χωρίς ιδιαίτερη ανησυχία για το αν αυτά τα σύμβολα αντιστοιχούν σε πραγματικά ή μαθηματικά αντικείμενα. Για τους φορμαλιστές, μια μη κατασκευαστική απόδειξη είναι απλώς ένας από τους πολλούς τρόπους να κερδίσεις το παιχνίδι.
Ο Brouwer απεχθανόταν αυτή την ιδέα. Η δική του φιλοσοφία ήταν ο διαισθητισμός, που υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά είναι δημιούργημα του ανθρώπινου νου. Απέρριπτε τον χειρισμό συμβόλων ως την ουσία των μαθηματικών και τους έβλεπε μόνο ως τρόπο μεταφοράς της σκέψης από έναν μαθηματικό σε έναν άλλον. Σε αυτή την οπτική, μια μη κατασκευαστική απόδειξη είναι εξαπάτηση. Για να είναι πραγματικό ένα μαθηματικό αντικείμενο, πρέπει να μπορείς να το κατασκευάσεις στο μυαλό σου.
Το σημείο όπου οι δύο φιλοσοφίες συγκρούονται πραγματικά είναι ο νόμος του αποκλειόμενου τρίτου. Πρόκειται για μια αρχαία αρχή της λογικής που λέει ότι για κάθε λογική πρόταση, είτε η πρόταση είναι αληθής είτε η άρνησή της είναι αληθής. Με άλλα λόγια, αν πω «ο Hilbert ήταν γάτα», αυτό είτε πρέπει να είναι αλήθεια είτε όχι. Και για την αποφυγή παρεξηγήσεων, δεν ήταν.
Αυτό μπορεί να μοιάζει αυτονόητο, αλλά αποδεικνύεται χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο. Στην απόδειξη του Hilbert το 1888, υπέθεσε ότι «δεν μπορούν όλα τα αναλλοίωτα να παραχθούν από ένα πεπερασμένο γεννήτορα σύνολο» και βρήκε αντίφαση, άρα η πρόταση αυτή είναι ψευδής. Με βάση τον νόμο του αποκλειόμενου τρίτου, το «όλα τα αναλλοίωτα μπορούν να παραχθούν από ένα πεπερασμένο γεννήτορα σύνολο» πρέπει να είναι αληθές, ακόμη κι αν δεν δείχνεις πώς να κατασκευαστεί ένα τέτοιο σύνολο.
Η ένσταση του Brouwer αφορούσε ακριβώς την εφαρμογή του νόμου του αποκλειόμενου τρίτου σε ένα άπειρο σύνολο αντικειμένων, όπως έκανε ο Hilbert. Δεν είχε πρόβλημα με τη χρήση του σε πεπερασμένα σύνολα, γιατί, θεωρητικά, μπορείς να ελέγξεις κάθε αντικείμενο του συνόλου και να διαπιστώσεις αν έχει ή όχι μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Για τα άπειρα σύνολα, όμως, αυτό δεν γίνεται.
Ο Hilbert θεωρούσε αυτή τη θέση παράλογη και παρομοίαζε τους περιορισμούς στον νόμο του αποκλειόμενου τρίτου με το «να απαγορεύεις στον πυγμάχο τη χρήση των γροθιών του». Ο Brouwer, από την άλλη, αποκαλούσε τον Hilbert «εχθρό μου». Το πρόβλημα ήταν ότι και οι δύο εργάζονταν στο Mathematische Annalen, τότε και σήμερα ένα από τα σημαντικότερα περιοδικά στα μαθηματικά. Ο Hilbert ήταν ένας από τους τρεις επιμελητές, μαζί με τον Albert Einstein, ενώ ο Brouwer ανήκε στη συντακτική επιτροπή. Ο Hilbert εξοργίστηκε τόσο με την επιρροή του Brouwer στο περιοδικό, ώστε το 1928 απέλυσε ολόκληρη τη συντακτική επιτροπή μόνο και μόνο για να τον απομακρύνει. Σε αντίδραση, παραιτήθηκε και ο Einstein, ρωτώντας: «Τι είναι αυτός ο πόλεμος βατράχου και ποντικιού ανάμεσα στους μαθηματικούς;»
Σε πρακτικό επίπεδο, ο Einstein είχε δίκιο να υποβαθμίσει τη διαμάχη. Σήμερα ελάχιστοι μαθηματικοί ασχολούνται με κάποια συγκεκριμένη φιλοσοφία, και η μεγάλη πλειονότητα χρησιμοποιεί άνετα τις μη κατασκευαστικές αποδείξεις ως χρήσιμο εργαλείο. Θα μπορούσε κανείς να πει ότι έτσι νίκησε ο Hilbert, και πράγματι ο Brouwer έγινε όλο και πιο απομονωμένος και άνευ σημασίας μετά την απομάκρυνσή του από το Mathematische Annalen. Όμως, όπως έχω γράψει και στο παρελθόν, ο φορμαλισμός του Hilbert σύντομα θα δεχόταν καίριο πλήγμα από τον Kurt Gödel, του οποίου το θεώρημα μη πληρότητας έδειξε ότι το παιχνίδι του χειρισμού συμβόλων δεν θα μπορούσε ποτέ να είναι πλήρως συνεπές. Ο Gödel δεν ήταν διαισθητιστής. Στην πραγματικότητα, το θεώρημα πληρότητάς του, πρόδρομος του θεωρήματος μη πληρότητας, βασίζεται στον νόμο του αποκλειόμενου τρίτου. Όμως πήρε έμπνευση από τον Brouwer στον δικό του αγώνα κατά του Hilbert.
Οι ιδέες του Gödel και του Brouwer έγιναν αργότερα σημαντικές στην πληροφορική, επηρεάζοντας το έργο του Alan Turing και τα ερωτήματα για το ποια προβλήματα είναι υπολογίσιμα. Σήμερα, τέτοιες ιδέες επιστρέφουν στο προσκήνιο, καθώς οι μαθηματικοί στρέφονται στην AI και στην τυπική επαλήθευση αποδείξεων, όπου κάθε βήμα μιας απόδειξης πρέπει να είναι αναγνώσιμο από μηχανή ώστε να ελεγχθεί ως αληθές. Αυτό, με τη σειρά του, μπορεί κάποια μέρα να οδηγήσει σε μια μη κατασκευαστική απόδειξη, επαληθευμένη ως λογικά αληθινή, την οποία όμως οι μαθηματικοί δεν θα καταλαβαίνουν πλήρως, επειδή θα έχει δημιουργηθεί από μια AI που δεν μπορεί να την εξηγήσει σε ανθρώπινο νου. Αν συμβεί αυτό, ο Brouwer θα έχει τον τελευταίο λόγο.
