Οι καλύτερες εξισώσεις που διαθέτουμε για να περιγράψουμε την κίνηση των ρευστών γράφτηκαν πριν από δύο αιώνες. Από τότε, κανείς δεν έχει καταφέρει να απαντήσει σε ένα απλό ερώτημα για αυτές: μπορούν ποτέ να «εκραγούν»;
Η φράση αυτή έχει συγκεκριμένη μαθηματική σημασία και περιγράφει την περίπτωση όπου, φαινομενικά από το πουθενά, ένα μέρος του ρευστού αρχίζει να κινείται με άπειρη ταχύτητα. Θα ήταν σαν να σχηματιζόταν μια άπειρη δίνη στην μπανιέρα σας με ένα απλό άγγιγμα των δαχτύλων των ποδιών σας.
Η κατανόηση των εξισώσεων Navier-Stokes — που πήραν το όνομά τους από τους δύο επιστήμονες που τις ανακάλυψαν — αποτελεί διαρκές ζητούμενο για τους μαθηματικούς. Σε τέτοιο βαθμό, ώστε το ερώτημα για το «blow-up» βρίσκεται στη λίστα των περίφημων Millennium Prize Problems, καθένα από τα οποία συνοδεύεται από αμοιβή 1 εκατ. δολαρίων για όποιον το λύσει.
Αυτή την εβδομάδα, η OpenAI προκάλεσε αίσθηση στον κόσμο των μαθηματικών ανακοινώνοντας ότι οι AI agents της βρήκαν επιτέλους την απάντηση: οι εξισώσεις πράγματι μπορούν να «εκραγούν». Αυτό δεν σημαίνει ότι τα ρευστά θα αρχίσουν να συμπεριφέρονται παράξενα, αλλά ότι οι ίδιες οι εξισώσεις δεν είναι τέλειες. Είναι καλά νέα για τη μπανιέρα σας. Τα μαθηματικά, όμως, ίσως να μην είναι ποτέ ξανά τα ίδια.
Τerence Tao: Οι εταιρείες AI βλάπτουν τα μαθηματικά
Ο λόγος δεν είναι το ίδιο το αποτέλεσμα. Οι εξισώσεις Navier-Stokes έχουν ήδη αποδειχθεί πολλές φορές εξαιρετικά χρήσιμες σε εφαρμογές που κυμαίνονται από τον σχεδιασμό καλύτερων πτερύγων αεροπλάνων έως τη μοντελοποίηση της ροής ρευστών μέσα από τεχνητές καρδιές. Οι μαθηματικοί υποψιάζονταν ότι τα blow-ups είναι δυνατά· τώρα το γνωρίζουν με βεβαιότητα.
Αυτό δεν μειώνει τη σημασία της ανακάλυψης. Πρόκειται για μία από τις μεγαλύτερες μαθηματικές εξελίξεις των τελευταίων δεκαετιών. Όμως ο τρόπος με τον οποίο συνέβη και οι συνέπειες που ακολουθούν είναι αυτό που θα επηρεάσει πιο δραματικά τα μαθηματικά τα επόμενα χρόνια.
Η OpenAI άρχισε να δουλεύει πάνω στο πρόβλημα αφού πληροφορήθηκε ότι μια ομάδα μαθηματικών είχε κάνει ορισμένες πρόοδοι, οι οποίες δεν είχαν ακόμη δημοσιευτεί. Οι ερευνητές της τεχνολογικής εταιρείας αποφάσισαν να ρίξουν χιλιάδες AI agents στην επίλυση του προβλήματος. Μόλις 88 ώρες αργότερα, είχαν τελειώσει.
OpenAI has solved the Navier-Stokes Millennium problem using $15m of AI effort
Τους τελευταίους μήνες, η τεχνητή νοημοσύνη σημειώνει τη μία σημαντική τομή μετά την άλλη στα μαθηματικά, με αυτή την πιο πρόσφατη εξέλιξη να είναι μακράν η πιο εντυπωσιακή. Δεν έχει περάσει καιρός από τότε που τα μαθηματικά θεωρούνταν κάπως ντροπιαστικό πεδίο για την AI, επειδή ήταν τόσο αδύναμη σε αυτά. Τώρα είναι εντυπωσιακά καλή. Πόσα ακόμη μακροχρόνια μαθηματικά αινίγματα θα λυθούν από την AI παραμένει άγνωστο, αλλά σίγουρα θα είναι πολλά. Η OpenAI έχει ήδη ανακοινώσει ότι έχει σημειώσει «ουσιαστική πρόοδο» σε ένα ακόμη από τα Millennium Prize Problems.
Όμως οι αποδείξεις που παράγει η AI δεν αποτελούν απλή αντικατάσταση των ανθρώπινων. Οι μαθηματικοί θέλουν να ξέρουν το γιατί, η AI όχι τόσο.
Ο σπουδαίος μαθηματικός Paul Erdős πίστευε ότι η μαθηματική αλήθεια υπάρχει ανεξάρτητα από την ανθρωπότητα, σε ένα είδος ουράνιου βιβλίου, και ότι το έργο των μαθηματικών είναι να ανακαλύψουν τι γράφει μέσα. Κάποιες φορές ένας μαθηματικός εντοπίζει ένα λογικό επιχείρημα τόσο ευφυές και τόσο κομψό, ώστε προσφέρει νέα κατανόηση ή έναν εντελώς νέο τρόπο σκέψης. Ο Erdős έλεγε ότι μια τέτοια απόδειξη ήταν «straight from The Book». Δύσκολα μπορεί να πει κανείς ότι η προσπάθεια της OpenAI θα έμπαινε σε αυτή την κατηγορία.
Ο λόγος είναι ότι τα AIs τείνουν να παράγουν δύσκολα στην παρακολούθηση και περίπλοκα επιχειρήματα. Για την απλή απόδειξη ενός θεωρήματος αυτό δεν έχει μεγάλη σημασία, χάρη στη διαδικασία της τυποποίησης, όπου οι αποδείξεις μπορούν να μετατραπούν σε κώδικα και να ελεγχθούν αυστηρά από υπολογιστές. Όμως, από πλευράς κατανόησης, το κέρδος είναι περιορισμένο.
Αυτό αφήνει τα μαθηματικά σε ένα νέο τοπίο. Η επανάσταση της τεχνητής νοημοσύνης στα μαθηματικά έχει ήδη φτάσει. Είναι μια νέα εποχή με πολύ περισσότερες απαντήσεις παρά εξηγήσεις, και η αποσαφήνιση όλων αυτών δεν θα είναι εύκολη. Δεν είναι μόνο οι εξισώσεις Navier-Stokes που η AI «έσπασε», αλλά και τα ίδια τα μαθηματικά.
Ζούμε σε πρωτοφανείς καιρούς, αλλά τα μαθηματικά έχουν περάσει ξανά από ανατροπές. Όταν ο René Descartes συνέδεσε τη γεωμετρία με την άλγεβρα τον 17ο αιώνα, δείχνοντας ότι τα σχήματα μπορούν να εκφραστούν με εξισώσεις, άλλαξε ριζικά την εργαλειοθήκη των μαθηματικών.
Η γεωμετρία, ωστόσο, ήταν το αγαπημένο πεδίο των μαθηματικών από την αρχαιότητα. Θεωρούνταν αξιόπιστη και αγνή. Οι μαθηματικοί φοβούνταν ότι η νέα προσέγγιση θα τους μετέτρεπε σε ανθρώπους που απλώς χειρίζονται σύμβολα χωρίς να παράγουν νέες ιδέες. Ο φιλόσοφος Thomas Hobbes περιέγραψε αυτή την προσέγγιση ως «scab of symbols».
Τριακόσια χρόνια αργότερα, όμως, δεν αμφισβητεί κανείς ότι η σύνδεση της άλγεβρας με τη γεωμετρία ήταν θετική εξέλιξη. Χωρίς αυτήν δεν θα υπήρχε λογισμός ούτε σχετικότητα· στην πραγματικότητα, η σύγχρονη επιστήμη θα ήταν αγνώριστη. Ίσως η AI να έχει παρόμοιο αποτέλεσμα.
Οι μαθηματικοί διαθέτουν πλέον μια ατελή «μηχανή αλήθειας» που παράγει μαθηματικές απαντήσεις. Μπροστά τους υπάρχουν μεγάλα ερωτήματα για το πώς θα τη χρησιμοποιήσουν, ποιος θα έχει πρόσβαση σε αυτήν και ποιος θα είναι ο ρόλος των εταιρειών AI. Πρόκειται, ωστόσο, για ένα εργαλείο που μπορεί να επιτρέψει στους μαθηματικούς να προχωρήσουν πολύ πιο γρήγορα από πριν. Η τεχνητή νοημοσύνη ίσως αποδειχθεί τελικά ό,τι καλύτερο και ό,τι χειρότερο συνέβη ποτέ στα μαθηματικά.
Το παρόν κείμενο δημιουργήθηκε με τη χρήση τεχνητής νοημοσύνης.
