Μια μαθηματικός ανοίγει την πόρτα του γραφείου της και βρίσκει μια μικρή φωτιά. Χωρίς να πανικοβληθεί, κοιτάζει γύρω της και βλέπει έναν πυροσβεστήρα. «Α, υπάρχει λύση!», λέει και κλείνει την πόρτα, συνεχίζοντας τη μέρα της. Το ότι ξέρει απλώς πως η φωτιά μπορεί να σβήσει αρκεί ως απόδειξη ότι το πρόβλημα λύνεται — γιατί να μπει στη διαδικασία να το κάνει; Αυτό το παλιό αστείο συνοψίζει τον τρόπο με τον οποίο γίνεται μεγάλο μέρος των σύγχρονων μαθηματικών, χάρη σε ένα πονηρό τέχνασμα επίλυσης προβλημάτων: τη μη κατασκευαστική απόδειξη.
Η ιδέα δεν είναι εύκολη να την καταλάβει κανείς, οπότε ας δούμε ένα παράδειγμα που δεν είναι κυρίως μαθηματικό. Ας πούμε ότι βρίσκονται 367 άνθρωποι σε ένα δωμάτιο — ποιες είναι οι πιθανότητες δύο από αυτούς να έχουν τα ίδια γενέθλια; Η απάντηση είναι 100%, γιατί, αν συνυπολογίσουμε τα δίσεκτα έτη, υπάρχουν μόνο 366 πιθανές ημερομηνίες γενεθλίων και κάθε άνθρωπος πρέπει να έχει μία. Άρα τουλάχιστον δύο άτομα θα μοιράζονται τα ίδια γενέθλια. Αυτό είναι ένα κλασικό παράδειγμα του «αρχή του περιστερώνα» — οι άνθρωποι είναι τα περιστέρια και οι ημέρες τα περιστερώνια — και αποτελεί κλασικό τρόπο προσέγγισης των μη κατασκευαστικών αποδείξεων. Ξέρουμε ότι δύο άνθρωποι πρέπει να έχουν τα ίδια γενέθλια, ακόμη κι αν δεν ξέρουμε ποιοι είναι ανάμεσα στους 367.
Γιατί οι μαθηματικοί θέλουν να καταστρέψουν το άπειρο — και ίσως να τα καταφέρουν
Παραδοσιακά, οι αποδείξεις ήταν το ακριβώς αντίθετο. Αν κάτι αποδεικνυόταν, συνήθως ο μαθηματικός είχε συλλάβει ένα συγκεκριμένο μαθηματικό αντικείμενο και το είχε βάλει μπροστά σε όλους. Αυτό άρχισε να αλλάζει τον 19ο αιώνα, όταν οι μη κατασκευαστικές αποδείξεις έγιναν πιο ισχυρό και πιο δημοφιλές εργαλείο στο οπλοστάσιο των μαθηματικών. Στην πρώτη γραμμή αυτής της νέας μαθηματικής προσέγγισης βρέθηκε ο David Hilbert, ένας από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς της εποχής του και, κατά την άποψη ορισμένων, ένας ταραξίας.
Το πρόβλημα που εξέταζε ο Hilbert ήταν σύνθετο και χρειάζεται μια μικρή εισαγωγή. Ας ξεκινήσουμε από ένα τετράγωνο. Μπορείτε να περιστρέψετε ένα τετράγωνο κατά 90 μοίρες και να μοιάζει ακριβώς το ίδιο — ίσως το ξέρετε ως περιστροφική συμμετρία. Με άλλο τρόπο, μπορούμε να πούμε ότι το τετράγωνο είναι «αναλλοίωτο» υπό περιστροφή 90 μοιρών.
Ο Hilbert ενδιαφερόταν για τις αναλλοίωτες ποσότητες, όχι για γεωμετρικά αντικείμενα όπως τα τετράγωνα, αλλά για αλγεβρικά, όπως οι εξισώσεις. Για μια δεδομένη κατηγορία αλγεβρικών αντικειμένων, οι μαθηματικοί είχαν καταλάβει ότι υπάρχουν, ουσιαστικά, άπειρες αναλλοίωτες ποσότητες. Το ερώτημα ήταν: πόσες χρειάζεσαι πραγματικά; Μπορείς να ξεκινήσεις από λίγες βασικές αναλλοίωτες και να χτίσεις με αυτές οποιαδήποτε άλλη θέλεις; Ο Hilbert δεν ήταν ο πρώτος που προσπάθησε να εντοπίσει ένα «γενεσιουργό σύνολο» για τις αναλλοίωτες — ένας άλλος μαθηματικός, ο Paul Gordan, είχε αφιερώσει ολόκληρη την καριέρα του σε αυτό. Ο Gordan είχε ανακαλύψει πεπερασμένα γενεσιουργά σύνολα για ορισμένα αντικείμενα, αλλά η απόδειξή του ήταν αδέξια και πολύπλοκη. Έμεινε λοιπόν έκπληκτος όταν, το 1888, ο Hilbert απέδειξε ότι αυτό ίσχυε για μια πολύ ευρύτερη κατηγορία αλγεβρικών αντικειμένων — χωρίς όμως να προσδιορίσει τι ακριβώς περιείχαν αυτά τα γενεσιουργά σύνολα. Το έκανε ξεκινώντας από την παραδοχή ότι υπάρχει μια αναλλοίωτη που δεν μπορεί να παραχθεί από κανένα γενεσιουργό σύνολο, και στη συνέχεια έδειξε ότι αυτό θα οδηγούσε στη δημιουργία μιας άπειρης ακολουθίας νέων αναλλοίωτων με τρόπο που δεν επιτρέπεται από τους αλγεβρικούς κανόνες στους οποίους στηριζόταν — σε μια λογική αντίφαση. Ο μόνος τρόπος να λυθεί η αντίφαση είναι να δεχτεί κανείς ότι το γενεσιουργό σύνολο πρέπει να υπάρχει πάντα.
Η αντίδραση του Gordan σε αυτή τη μη κατασκευαστική απόδειξη ήταν αρχικά αρνητική. «Αυτό δεν είναι μαθηματικά, είναι θεολογία», είπε, σοκαρισμένος που ο Hilbert του ζητούσε να πιστέψει στην ύπαρξη ενός γενεσιουργού συνόλου χωρίς να το παρουσιάζει. Στο τέλος όμως ο Gordan συμβιβάστηκε με τον τρόπο σκέψης του Hilbert και αργότερα είπε ότι «η θεολογία έχει και τα πλεονεκτήματά της».
Οι μάχες του Hilbert δεν είχαν τελειώσει. Όπως ο ίδιος, ως νεαρός αμφισβήτησε τον Gordan, έτσι ήρθε και ένας νεότερος αμφισβητίας, ο L.E.J. Brouwer. Ο Hilbert πέρασε αρκετές δεκαετίες διαμορφώνοντας τη μαθηματική φιλοσοφία του φορμαλισμού, η οποία ουσιαστικά θεωρεί ότι τα μαθηματικά είναι ένα παιχνίδι χειρισμού συμβόλων με λογικό τρόπο, ώστε να παράγονται αποδείξεις, χωρίς να υπάρχει ιδιαίτερη ανάγκη να σκεφτόμαστε τα πραγματικά ή μαθηματικά αντικείμενα στα οποία μπορεί να αντιστοιχούν αυτά τα σύμβολα. Για τους φορμαλιστές, μια μη κατασκευαστική απόδειξη είναι απλώς ένας από τους πολλούς τρόπους για να κερδίσεις το παιχνίδι.
Ο Brouwer απεχθανόταν αυτή την ιδέα. Η δική του φιλοσοφία ήταν ο ιντουισιονισμός, που υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά είναι δημιούργημα του ανθρώπινου νου. Απέρριπτε τον χειρισμό συμβόλων ως τη θεμελιώδη δραστηριότητα των μαθηματικών και τα έβλεπε μόνο ως τρόπο μεταφοράς της σκέψης από έναν μαθηματικό σε έναν άλλο. Σε αυτή την οπτική, μια μη κατασκευαστική απόδειξη είναι εξαπάτηση — για να είναι πραγματικό ένα μαθηματικό αντικείμενο, πρέπει να μπορείς να το κατασκευάσεις στο μυαλό σου.
Το σημείο όπου αυτές οι δύο φιλοσοφίες συγκρούονται πραγματικά είναι ο λεγόμενος νόμος του αποκλειόμενου τρίτου. Πρόκειται για μια αρχαία αρχή της λογικής που λέει ότι για κάθε λογική πρόταση, είτε η πρόταση είναι αληθής είτε η άρνησή της είναι αληθής. Με άλλα λόγια, αν πω «ο Hilbert ήταν γάτα», είτε αυτό πρέπει να είναι αληθές είτε ο Hilbert δεν ήταν γάτα (το δεύτερο, για να μην υπάρχει αμφιβολία).
Αυτό μπορεί να ακούγεται προφανές, αλλά αποδεικνύεται χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο. Στην απόδειξη του Hilbert το 1888, εκείνος υπέθεσε ότι «όλες οι αναλλοίωτες δεν μπορούν να παραχθούν από πεπερασμένο γενεσιουργό σύνολο» και βρήκε αντίφαση, άρα η πρόταση αυτή ήταν ψευδής. Με βάση τον νόμο του αποκλειόμενου τρίτου, το «όλες οι αναλλοίωτες μπορούν να παραχθούν από πεπερασμένο γενεσιουργό σύνολο» πρέπει να είναι αληθές, ακόμη κι αν δεν δείχνεται πώς κατασκευάζεται αυτό το σύνολο.
Η ένσταση του Brouwer αφορούσε την εφαρμογή του νόμου του αποκλειόμενου τρίτου σε ένα άπειρο σύνολο αντικειμένων, όπως έκανε ο Hilbert. Δεν είχε πρόβλημα να χρησιμοποιείται για πεπερασμένα σύνολα, γιατί, καταρχήν, θα μπορούσες να ελέγξεις κάθε στοιχείο του συνόλου και να βεβαιωθείς αν έχει ή δεν έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Όμως για άπειρα σύνολα αυτό δεν μπορεί να γίνει.
Ο Hilbert το θεωρούσε παράλογο και παρομοίαζε τους περιορισμούς στον νόμο του αποκλειόμενου τρίτου με το να «απαγορεύεις στον μποξέρ να χρησιμοποιεί τις γροθιές του». Ο Brouwer, από την πλευρά του, αποκαλούσε τον Hilbert «εχθρό μου». Το πρόβλημα ήταν ότι και οι δύο εργάζονταν στο Mathematische Annalen, που τότε —όπως και σήμερα— ήταν ένα από τα σημαντικότερα περιοδικά των μαθηματικών. Ο Hilbert ήταν ένας από τους τρεις εκδότες, μαζί με τον Albert Einstein, ενώ ο Brouwer ήταν μέλος της συντακτικής επιτροπής. Ο Hilbert εξοργίστηκε τόσο πολύ με την επιρροή του Brouwer στο περιοδικό, ώστε το 1928 απέλυσε ολόκληρη τη συντακτική επιτροπή μόνο και μόνο για να τον ξεφορτωθεί. Σε απάντηση, παραιτήθηκε και ο Einstein, ρωτώντας: «Τι είναι αυτή η σύγκρουση ανάμεσα σε βάτραχο και ποντίκι μεταξύ των μαθηματικών;»
Σε πρακτικό επίπεδο, ο Einstein είχε δίκιο να υποβαθμίσει τη διαμάχη. Σήμερα, ελάχιστοι μαθηματικοί ασχολούνται με μια ρητή φιλοσοφία, και η μεγάλη πλειονότητα χρησιμοποιεί άνετα τις μη κατασκευαστικές αποδείξεις ως χρήσιμο εργαλείο. Θα μπορούσε κανείς να πει ότι αυτό σήμαινε πως κέρδισε ο Hilbert, και πράγματι ο Brouwer έγινε όλο και πιο απομονωμένη και αδιάφορη μορφή μετά την απομάκρυνσή του από το Mathematische Annalen. Όμως, όπως έχω γράψει και στο παρελθόν, ο φορμαλισμός του Hilbert θα δεχόταν σύντομα καίριο πλήγμα από τον Kurt Gödel, του οποίου το θεώρημα μη πληρότητας έδειξε ότι το παιχνίδι της χειραγώγησης συμβόλων δεν θα μπορούσε ποτέ να είναι πλήρως συνεκτικό. Ο Gödel δεν ήταν ιντουισιονιστής — στην πραγματικότητα, το θεώρημα πληρότητάς του, πρόδρομος του θεωρήματος μη πληρότητας, βασίζεται στον νόμο του αποκλειόμενου τρίτου — αλλά άντλησε έμπνευση από τον Brouwer στη δική του αντιπαράθεση με τον Hilbert.
Οι ιδέες του Gödel και του Brouwer έγιναν αργότερα σημαντικές στην επιστήμη των υπολογιστών, επηρεάζοντας το έργο του Alan Turing και τα ερωτήματα για το ποια προβλήματα είναι υπολογίσιμα. Σήμερα, τέτοιες ιδέες επιστρέφουν στο προσκήνιο καθώς οι μαθηματικοί στρέφονται στην τεχνητή νοημοσύνη και στην τυπική επαλήθευση αποδείξεων, όπου κάθε βήμα μιας απόδειξης πρέπει να είναι αναγνώσιμο από μηχανή, ώστε να επιβεβαιώνεται ότι είναι αληθές. Αυτό, με τη σειρά του, ίσως κάποτε οδηγήσει σε μια μη κατασκευαστική απόδειξη που θα έχει επαληθευτεί ως λογικά αληθής, την οποία όμως οι μαθηματικοί δεν θα καταλαβαίνουν πλήρως, επειδή θα έχει δημιουργηθεί από μια τεχνητή νοημοσύνη που δεν μπορεί να την εξηγήσει στον ανθρώπινο νου. Αν συμβεί αυτό, ο Brouwer θα έχει τον τελευταίο λόγο.
