Γιατί οι μαθηματικοί ξαναποδεικνύουν όσα ήδη γνωρίζουν

Νωρίτερα αυτόν τον μήνα, έγραψα ένα άρθρο για το πώς η OpenAI παρήγαγε άθελά της δύο εκδοχές της απόδειξής της για το πρόβλημα Navier-Stokes. Μπορείτε να διαβάσετε τις λεπτομέρειες εδώ, όμως ένα στοιχείο που έμεινε στο μυαλό μου ήταν ότι ορισμένοι άνθρωποι που δεν έχουν μαθηματική παιδεία δυσκολεύτηκαν να καταλάβουν πώς γίνεται δύο διαφορετικές αποδείξεις του ίδιου προβλήματος να είναι και οι δύο σωστές. Αυτό με έκανε να σκεφτώ πώς και γιατί οι μαθηματικοί αποδεικνύουν πράγματα πολλές φορές – και τι συμβαίνει όταν κάτι πάει στραβά.

Είναι σημαντικό να γίνει κατανοητό ότι οι αποδείξεις δεν είναι σχολικές ασκήσεις. Δύο μαθηματικοί μού το επισήμαναν πρόσφατα: επειδή για τους περισσότερους η σχέση με τα μαθηματικά ξεκινά και τελειώνει στο σχολείο, υπάρχει η εντύπωση ότι οι μαθηματικοί απλώς δουλεύουν πάνω σε μια μεγάλη λίστα προβλημάτων και γράφουν απαντήσεις για να τις τσεκάρει κάποιος κοσμικός δάσκαλος των μαθηματικών. Αυτό δεν ισχύει. Οι αποδείξεις είναι τρόπος οργάνωσης και ανάπτυξης της μαθηματικής σκέψης. Μπορεί κανείς να τις δει σαν ένα ταξίδι, από μια διατύπωση μέχρι ένα συμπέρασμα – και, όπως σε πολλά ταξίδια, υπάρχουν πολλοί δρόμοι που μπορείς να ακολουθήσεις για να πας από το Α στο Β. Από εκεί προκύπτουν και οι πολλαπλές αποδείξεις του ίδιου προβλήματος.

Αυτή η διαδικασία της επαναπόδειξης, του να παίρνεις τον μαθηματικό δρόμο που δεν έχει ακόμη διαβεί κάποιος, ξεκινά από την αρχαιότητα. Ένα από τα παλαιότερα παραδείγματα είναι η πρόταση ότι ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει πάντα δύο ίσες πλευρές και δύο ίσες γωνίες στη βάση. Γύρω στο 350 π.Χ., ο Αριστοτέλης περιγράφει μια απόδειξη αυτού του ισχυρισμού που περιλαμβάνει τη σχεδίαση γραμμών από το κέντρο ενός κύκλου προς την περιφέρειά του – ο αρχικός δημιουργός αυτής της απόδειξης έχει χαθεί στην ιστορία. Περίπου 50 χρόνια αργότερα, ο Ευκλείδης περιέγραψε μια απόδειξη που χρειάζεται μόνο τρίγωνα και όχι κύκλους. Έτσι αποφεύχθηκε κομψά μια μαθηματική διαφωνία για το πώς ορίζονται οι γωνίες που σχηματίζονται ανάμεσα σε μια ευθεία και μια καμπύλη γραμμή – ένα ζήτημα που, όπως αποδείχθηκε, δεν επιλύθηκε για χιλιάδες χρόνια.

Ο Ευκλείδης εμφανίζεται και σε ένα άλλο παράδειγμα που δείχνει πόσο χρήσιμο είναι να επιμένεις σε «λυμένα» προβλήματα. Κατέγραψε μια απόδειξη ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, και ίσως την έχετε διδαχθεί στο σχολείο. Υποθέστε ότι έχετε μια πεπερασμένη λίστα πρώτων αριθμών. Αν τους πολλαπλασιάσετε όλους μεταξύ τους, προκύπτει ένας νέος αριθμός, ο P. Στη συνέχεια, ορίζετε q = P + 1. Αν το q είναι πρώτος, δεν μπορεί να βρισκόταν στη λίστα, επειδή είναι μεγαλύτερος από τον P. Αν δεν είναι πρώτος, τότε πρέπει να διαιρείται από κάποιον πρώτο αριθμό, αφού όλοι οι μη πρώτοι διαιρούνται. Αν αυτός ο πρώτος αριθμός βρισκόταν στη λίστα, τότε θα έπρεπε να διαιρεί και τον P, κάτι που σημαίνει ότι θα διαιρούσε και το q – P = 1, πράγμα αδύνατο. Σε κάθε περίπτωση, έχουμε εντοπίσει έναν πρώτο αριθμό που δεν υπήρχε στην αρχική λίστα.

Σύμφωνα με έρευνα του 2023, υπάρχουν πλέον 200 διαφορετικές αποδείξεις του θεωρήματος του Ευκλείδη, όπως είναι γνωστό. Μία που πρόσθεσε ιδιαίτερα στη μαθηματική γνώση της εποχής δημοσιεύτηκε από τον Leonhard Euler το 1737, ο οποίος βρήκε έναν τύπο που συνέδεε το άθροισμα όλων των αριθμών με το γινόμενο όλων των πρώτων. Χρησιμοποίησε επίσης αυτό το εύρημα για να υπαινιχθεί τη δομή των πρώτων αριθμών – όχι μόνο ότι είναι άπειροι, αλλά και ότι γίνονται πιο αραιοί όσο ανεβαίνεις στη γραμμή των αριθμών. Ο τύπος του Euler ενέπνευσε τον Bernard Riemann πάνω από έναν αιώνα αργότερα να διατυπώσει την υπόθεση Riemann, ένα βαθύ ερώτημα για τη δομή των πρώτων αριθμών που θεωρείται ένα από τα μεγαλύτερα άλυτα μυστήρια των μαθηματικών σήμερα. Άρα ο Euler καλά έκανε που δοκίμασε ξανά την τύχη του με τον Ευκλείδη.

Ίσως πιο απροσδόκητα, υπάρχουν ακόμη περιπτώσεις όπου μαθηματικοί έχουν παρουσιάσει πολλαπλές αποδείξεις του ίδιου θεωρήματος πριν αποκαλυφθεί ένα σφάλμα στη συλλογιστική. Το 1933, ο μαθηματικός Wilhelm Grunwald δημοσίευσε μια απόδειξη που έδειχνε ότι ένας αριθμός, ο a, με μια συγκεκριμένη ιδιότητα σε σχέση με όλους τους πρώτους αριθμούς, θα μπορούσε πάντα να γραφτεί ως κάποιος άλλος αριθμός, ο x, υψωμένος στη νιοστή δύναμη, δηλαδή a = x^n. Ένας δεύτερος μαθηματικός, ο George Whaples, έδωσε μια νέα απόδειξη του ίδιου αποτελέσματος με λίγο διαφορετικά μαθηματικά το 1942. Όμως το 1948, ο Shianghao Wang διαπίστωσε ότι αυτό στην πραγματικότητα δεν ισχύει για το 16, επειδή το 16 δεν ισούται με x^8 για κανένα x. Το σωστό αποτέλεσμα είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα Grunwald-Wang.

Ευχάριστο είναι επίσης το γεγονός ότι οι ερευνητές έχουν μελετήσει ακόμη και μαθηματικά την ίδια την ιδέα του να ακολουθείς αποδεικτικές διαδρομές. Σε εργασία του 2022, ο Scott Viteri από το Stanford University και ο Simon DeDeo από το Carnegie Mellon University στην Pennsylvania επισημαίνουν ότι αν μια μαθηματική απόδειξη είναι μια ακολουθία λογικών βημάτων, και κάθε βήμα έχει μια μικρή πιθανότητα λάθους, τότε είναι πιθανό μια αρκετά μεγάλη απόδειξη να είναι πιο πιθανό να είναι λανθασμένη παρά σωστή. Ρίξτε αρκετές φορές το ζάρι και η πιθανότητα να έρθει 1 γίνεται εξαιρετικά μεγάλη. Πώς, λοιπόν, μπορούν οι μαθηματικοί να αποδείξουν οτιδήποτε;

Οι δύο ερευνητές δείχνουν ότι μια μαθηματική απόδειξη έχει δομή δικτύου, όπου η «αλήθεια» μεταδίδεται κατά μήκος διαδρομών ανάμεσα σε κάθε βήμα, ακριβώς όπως σε ένα ταξίδι. Με την πιθανότητα σφάλματος σε κάθε βήμα, η ισχύς αυτής της αλήθειας εξασθενεί όσο οι διαδρομές μεγαλώνουν. Όμως οι αποδείξεις δεν είναι τυχαίες περιπλανήσεις σε έναν νοητικό χώρο – έχουν δομή, και οι ισχυρισμοί συχνά ενισχύονται από πολλαπλές διαδρομές. Αυτή η δομή επιτρέπει στην αλήθεια να μεταδίδεται από τις ισχυρότερες διαδρομές, ακόμη κι αν αποτυγχάνει σε άλλες. Έτσι, το δίκτυο περνά αυτό που οι δύο ερευνητές αποκαλούν «επιστημικό σημείο καμπής», μια κατάσταση στην οποία μπορείτε να είστε εξαιρετικά βέβαιοι ότι η απόδειξη είναι σωστή.

Αυτό είναι απλώς ένα μοντέλο και όχι απαραίτητα κάτι που αποδέχονται όλοι οι μαθηματικοί, αλλά το βρίσκω πειστικό. Ταιριάζει επίσης με αυτό που θα περίμενε κανείς αυθόρμητα: όσο περισσότερες αποδείξεις έχει ένας μαθηματικός για ένα αποτέλεσμα, όσο περισσότεροι δρόμοι χαράσσονται από το Α στο Β, τόσο μεγαλύτερη είναι η βεβαιότητα ότι αυτό είναι αληθινό. Σε μια εποχή όπου η τεχνητή νοημοσύνη αρχίζει να παράγει μαθηματικά που οι άνθρωποι δεν καταλαβαίνουν απαραίτητα, ίσως ανακαλύψουμε ότι το να υπάρχουν πολλαπλές διαδρομές προς την αλήθεια, είτε ανθρώπινες είτε παραγόμενες από AI, μπορεί να προσφέρει βεβαιότητα εκεί όπου αλλιώς θα υπήρχε αβεβαιότητα.