Πώς στέκεται σήμερα το κλασικό βιβλίο εκλαϊκευμένης επιστήμης του Simon Singh, Fermat’s Last Theorem;
Γνωρίζατε ότι ο αριθμός 26 είναι ιδιαίτερος; Είναι ο μόνος αριθμός που βρίσκεται ακριβώς ανάμεσα σε έναν τετράγωνο αριθμό, το 25 ή το 5², και έναν κύβο, το 27 ή το 3³. Και για να είμαστε σαφείς, δεν πρόκειται απλώς για το ότι μέχρι σήμερα δεν βρήκαμε άλλο τέτοιο παράδειγμα ανάμεσα σε τετράγωνο και κύβο. Ξέρουμε με βεβαιότητα ότι δεν υπάρχει άλλο ανάμεσα στο μηδέν και το άπειρο.
Το βιβλίο Fermat’s Last Theorem του Simon Singh, που κυκλοφόρησε το 1997, είναι μια εξερεύνηση της μαθηματικής απόδειξης: τι σημαίνει, πώς προκύπτει και τι ωθεί όσους τη διεκδικούν με τόσο πάθος. Αφηγείται την αναζήτηση μιας ιδιαίτερα γοητευτικής απόδειξης, και γι’ αυτό διαβάζεται με ενδιαφέρον. Όμως, αφού αυτή η απόδειξη χρειάστηκε 350 χρόνια για να εμφανιστεί, το βιβλίο καταλήγει να είναι και μια εξαιρετική ιστορία των μαθηματικών. Για πολλούς από εμάς, ο πυρήνας των μαθηματικών βρίσκεται σε έναν κόσμο αφηρημένης σκέψης που μοιάζει πολύ μακρινός. Για μένα, όμως, αυτό που κάνει το βιβλίο πραγματικό θησαυρό, ακόμη και σχεδόν 30 χρόνια μετά τη συγγραφή του Singh, είναι ο τρόπος με τον οποίο μας μεταφέρει στην καρδιά αυτού του μαγευτικού κόσμου.
Ο Singh ξεκινά από την αρχή, με τον Πυθαγόρα και τη φήμη του γύρω από τα τρίγωνα. Όλοι γνωρίζουν το πυθαγόρειο θεώρημα, που λέει ότι αν αθροίσεις τα τετράγωνα των δύο μικρότερων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, το αποτέλεσμα είναι ίσο με το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του, μια ιδέα που μπορεί να γραφτεί ως x² + y² = z². Και πριν από τον Πυθαγόρα είχαν χρησιμοποιηθεί αντίστοιχες σχέσεις για τα τρίγωνα, όμως αυτό που τον ξεχώρισε, γράφει ο Singh, ήταν ότι απέδειξε πως ισχύει για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο. Το έκανε όχι με δοκιμές ή πειράματα, αλλά με αδιαμφισβήτητη λογική. «Η αναζήτηση μιας μαθηματικής απόδειξης», γράφει ο Singh, «είναι η αναζήτηση μιας γνώσης πιο απόλυτης από εκείνη που συσσωρεύει οποιοσδήποτε άλλος κλάδος».
Η ιστορία του Πυθαγόρα ήταν, στην πραγματικότητα, ένα από τα αγαπημένα μου σημεία του βιβλίου. Δεν είχα συνειδητοποιήσει ότι υπήρξε ιδρυτής μιας μυστικής αδελφότητας αναζητητών της απόδειξης. Και διάβασα με ορθάνοιχτα μάτια ότι ένας άνδρας με το όνομα Cyclon αποκλείστηκε από την αδελφότητα και συνωμότησε να σκοτώσει τον Πυθαγόρα για εκδίκηση.
Ωστόσο, ο άνθρωπος που βάζει πραγματικά σε κίνηση την ιστορία είναι ο Pierre de Fermat. Ήταν δικαστής που έζησε στη Γαλλία στο πρώτο μισό του 17ου αιώνα και είχε εξαιρετικό μαθηματικό ταλέντο. Ένα από τα πράγματα που απέδειξε ήταν η προαναφερθείσα μοναδικότητα του αριθμού 26. Αυτό που τον έκανε διάσημο, όμως, ήταν το λεγόμενο τελευταίο του θεώρημα, που αποτελεί μια απλή επέκταση του θεωρήματος του Πυθαγόρα. Ξέρουμε ότι υπάρχει άπειρο πλήθος ακέραιων αριθμών που μπορούν να ενταχθούν με επιτυχία στην κλασική εξίσωση του Πυθαγόρα, όμως ο Fermat υπέθεσε ότι αν τροποποιήσεις την εξίσωση σε xⁿ + yⁿ = zⁿ, όπου το n μπορεί να είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, τότε δεν υπάρχει καμία ακέραια λύση. Γύρω στο 1637, ισχυρίστηκε με θράσος ότι είχε μια «αληθινά θαυμαστή» απόδειξη, χωρίς όμως να τη γράψει ποτέ.
Ακολούθησαν 350 χρόνια κατά τα οποία μαθηματικοί έφτασαν στα όριά τους προσπαθώντας να ανακαλύψουν το μυστικό. Ο Singh μας οδηγεί σε όλη αυτή τη διαδρομή με στυλ και άνεση, παρουσιάζοντας μια εντυπωσιακή σειρά προσώπων. Ανάμεσα στους αγαπημένους μου ήταν η Sophie Germain, η Γαλλίδα μαθηματικός που εργάστηκε κρυφά με ανδρικό όνομα, ο Évariste Galois, ο οξύθυμος επαναστάτης που σημείωσε μια τεράστια μαθηματική πρόοδο και ύστερα σκοτώθηκε αμέσως σε μονομαχία, και ο Yutaka Taniyama, ο λαμπρός νεαρός Ιάπωνας μαθηματικός που βοήθησε να τεθούν τα θεμέλια για την τελική απόδειξη της εικασίας του Fermat, αλλά αργότερα έβαλε τραγικά τέλος στη ζωή του.
Ωστόσο, ο πρωταγωνιστής της ιστορίας είναι ο μαθηματικός Andrew Wiles, ο οποίος, προσοχή στο σπόιλερ, απέδειξε τελικά το θεώρημα του Fermat το 1994. Ο Singh σκιαγραφεί ένα υπέροχα πλούσιο πορτρέτο του Wiles, κάτι που γίνεται ακόμη πιο εντυπωσιακό αν σκεφτεί κανείς ότι ο Wiles προφανώς δεν απολαμβάνει τη δημοσιότητα. Διαβάζοντας, είχα την εντύπωση ότι περίπου καταλάβαινα τι έκανε ο Wiles. Με απλά λόγια, επρόκειτο για τη δημιουργία μιας λογικής γέφυρας ανάμεσα σε έναν κλάδο των μαθηματικών που λέγεται ελλειπτικές καμπύλες και σε έναν άλλο που λέγεται μοδουλαρές μορφές, οι οποίες μέχρι τότε θεωρούνταν εντελώς ασύνδετες. Να πούμε περισσότερα εδώ θα ήταν αδύνατο — πρόκειται για δύσκολο, αλλά συναρπαστικό υλικό.
Υπάρχει όμως και ένα τεταμένο επίμετρο στην ιστορία: η αρχική απόδειξη του Wiles περιείχε ένα λάθος. Είναι το χειρότερο σενάριο, αλλά ο Wiles, όπως πρέπει, ανακάμπτει και τελικά διορθώνει το σφάλμα. Η μόνη μου, μικρή ένσταση για το βιβλίο είναι ότι το κομμάτι της διόρθωσης θα μπορούσε να είναι πιο σύντομο.
Το βιβλίο του Singh έχει αντέξει καλά στον χρόνο και τα θέματά του παραμένουν επίκαιρα για τα σύγχρονα μαθηματικά. Μία από τις ιδέες που στηρίζουν τόσο το βιβλίο όσο και την απόδειξη του Wiles είναι αυτό που ονομάζεται πρόγραμμα Langlands, το οποίο ξεκίνησε από τον μαθηματικό Robert Langlands το 1967. Υπέθεσε ότι, σε βάθος, όλοι οι τομείς των μαθηματικών συνδέονται. Η ελπίδα είναι πως, όταν εντοπιστούν αυτές οι συνδέσεις, άλυτα προβλήματα σε έναν τομέα των μαθηματικών θα πέσουν ξαφνικά, καθώς θα μπορεί να στραφεί εναντίον τους ένα ολόκληρο οπλοστάσιο εργαλείων από έναν άλλο τομέα. Το έργο του Wiles ήταν μια πρώιμη ένδειξη ότι το πρόγραμμα Langlands ίσως έχει δίκιο — και πιο πρόσφατα έχουν προκύψει κι άλλα στοιχεία. Το 2024, μαθηματικοί παρουσίασαν μια απόδειξη για μία πλευρά της εικασίας Langlands που συνδέεται με έναν τομέα των μαθηματικών που λέγεται αρμονική ανάλυση.
Όταν τελείωσα το βιβλίο και το άφησα κάτω, δεν μπόρεσα να μην νιώσω ότι είχα περιπλανηθεί σε μια αίθουσα γεμάτη αφηρημένη τέχνη. Οι μαθηματικές αποδείξεις μοιάζουν, νομίζω, λίγο με την τέχνη. Τις παρατηρείς μέσα σε απόλυτη ησυχία, αναρωτιέσαι πώς κατάφεραν ποτέ οι δημιουργοί τους να τις στήσουν και βγαίνεις έχοντας δει κάτι που ξεπερνά την επιφάνεια της καθημερινής εμπειρίας. Για το ότι κατάφερε να γεννήσει αυτό το αίσθημα, δεν μπορώ παρά να δώσω στο βιβλίο την υψηλότερη δυνατή βαθμολογία.
