Το 1637, ο Pierre de Fermat έγραψε στο περιθώριο ενός βιβλίου μια πρόταση που δεν θα αποδεικνυόταν για τρεις ολόκληρους αιώνες. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά δεν ήταν απλώς ένας διάσημος γρίφος — η προσπάθεια επίλυσής του άλλαξε τα μαθηματικά και, τελικά, το διαδίκτυο που χρησιμοποιούμε σήμερα.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι από τα πρώτα πράγματα που μαθαίνουμε στο σχολείο: σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών ισούται με το τετράγωνο της υποτείνουσας. Η σχέση x² + y² = z² έχει άπειρες λύσεις σε ακέραιους αριθμούς — το (3, 4, 5) είναι το πιο γνωστό παράδειγμα. Το ερώτημα που γεννήθηκε φυσικά από αυτό ήταν: τι γίνεται αν αντί για τετράγωνα χρησιμοποιήσουμε κύβους ή μεγαλύτερες δυνάμεις; Υπάρχουν ακέραιοι που να ικανοποιούν τη σχέση xⁿ + yⁿ = zⁿ όταν n είναι μεγαλύτερο από δύο;
Ο Γάλλος μαθηματικός Pierre de Fermat πίστευε ότι όχι. Το 1637, μελετώντας τα κείμενα του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού Διόφαντου, σημείωσε στο περιθώριο της σελίδας ότι είχε βρει μια «πραγματικά θαυμαστή απόδειξη» — αλλά το περιθώριο ήταν πολύ μικρό για να τη χωρέσει. Η απόδειξη δεν βρέθηκε ποτέ. Και έτσι ξεκίνησε ένα από τα μεγαλύτερα κυνηγητά στην ιστορία της επιστήμης.
Για τους επόμενους αιώνες, οι καλύτεροι μαθηματικοί του κόσμου προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα κομμάτι-κομμάτι. Ο Euler απέδειξε ότι δεν υπάρχουν λύσεις για n=3. Τον 19ο αιώνα, ο Γάλλος Gabriel Lamé πίστεψε ότι είχε βρει τη γενική απόδειξη, βασιζόμενος στην ιδέα ότι η μοναδική παραγοντοποίηση — η ιδιότητα κάθε αριθμού να γράφεται με έναν μόνο τρόπο ως γινόμενο πρώτων — ισχύει και σε πιο σύνθετα αριθμητικά συστήματα. Η ελπίδα κράτησε λίγο. Ο Joseph Liouville και αργότερα ο Ernst Eduard Kummer έδειξαν ότι αυτή η ιδιότητα δεν ισχύει πάντα, και η απόδειξη του Lamé κατέρρευσε.
Το λάθος όμως αποδείχθηκε εξαιρετικά γόνιμο. Στην προσπάθειά του να διορθώσει το πρόβλημα, ο Kummer εισήγαγε νέες μαθηματικές έννοιες που έθεσαν τα θεμέλια της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών — ενός ολόκληρου κλάδου των μαθηματικών που δεν θα υπήρχε χωρίς αυτή την «αποτυχία». Αυτό είναι κάτι που συμβαίνει συχνά στην επιστήμη: τα λάθη που οδηγούν σε νέες ερωτήσεις αξίζουν μερικές φορές περισσότερο από τις σωστές απαντήσεις.
Η οριστική λύση ήρθε το 1994, όταν ο Βρετανός μαθηματικός Andrew Wiles ανακοίνωσε μια απόδειξη που είχε δουλέψει μυστικά για επτά χρόνια. Η προσέγγισή του ήταν εντελώς διαφορετική από οτιδήποτε είχε δοκιμαστεί πριν: χρησιμοποίησε ελλειπτικές καμπύλες και αναπαραστάσεις Galois, έννοιες που συνδέουν διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών με τρόπους που κανείς δεν είχε φανταστεί τον 17ο αιώνα. Η απόδειξη καταλαμβάνει εκατοντάδες σελίδες και απαιτεί γνώσεις που ο ίδιος ο Fermat δεν είχε — κάτι που υπονοεί ότι η «θαυμαστή απόδειξη» που ισχυρίστηκε ότι είχε βρει ήταν μάλλον ένα λάθος που δεν πρόλαβε να ανακαλύψει.
Η ιστορία δεν τελειώνει εκεί. Οι ελλειπτικές καμπύλες που χρησιμοποίησε ο Wiles βρίσκονται σήμερα στον πυρήνα της σύγχρονης κρυπτογραφίας. Κάθε φορά που κάνεις μια τραπεζική συναλλαγή online, στέλνεις ένα κρυπτογραφημένο μήνυμα ή αγοράζεις κάτι στο διαδίκτυο, η ασφάλεια αυτής της επικοινωνίας στηρίζεται σε μαθηματικές δομές που αναπτύχθηκαν εν μέρει χάρη στην τριακοσάχρονη προσπάθεια να λυθεί ένα πρόβλημα που ξεκίνησε ως σημείωση στο περιθώριο ενός βιβλίου.
Αυτό είναι ίσως το πιο εντυπωσιακό στοιχείο της ιστορίας: δεν ξέρουμε ποτέ εκ των προτέρων ποια μαθηματική ερώτηση θα αποδειχθεί χρήσιμη και πού. Ο Fermat σίγουρα δεν φανταζόταν ότι η σημείωσή του θα κατέληγε να προστατεύει τα δεδομένα δισεκατομμυρίων ανθρώπων τέσσερις αιώνες αργότερα.
