Μετά από μια AI της OpenAI που βρήκε έναν τρόπο να λύσει μια εικασία 80 ετών του Paul Erdős, μαθηματικοί αξιοποίησαν την ίδια τεχνική για να αντιμετωπίσουν ένα ακόμη σημαντικό πρόβλημα.
Ο Paul Erdős είχε διατυπώσει πολλές εικασίες για τους αριθμούς στη ζωή του. Oliver Helbig/Getty Images
Μόλις μία εβδομάδα αφότου μια AI διέψευσε μια εικασία 80 ετών και εντυπωσίασε τους μαθηματικούς, μια ακόμη εικασία που άντεχε για μισό αιώνα κατέρρευσε, εμπνευσμένη από τις ίδιες τεχνικές, αυτή τη φορά όμως γραμμένη εξ ολοκλήρου από ανθρώπους.
Την περασμένη εβδομάδα, ένα μη δημοσιευμένο μοντέλο AI της OpenAI διέψευσε μια σημαντική εικασία που είχε τεθεί για πρώτη φορά από τον Ούγγρο μαθηματικό Paul Erdős και ήταν γνωστή ως πρόβλημα της μοναδιαίας απόστασης. Το πρόβλημα, το οποίο ο Erdős θεωρούσε «την πιο εντυπωσιακή συνεισφορά μου στη γεωμετρία» και το οποίο πολλοί μαθηματικοί δεν είχαν καταφέρει να λύσουν, αφορά τον αριθμό των ίσου μεγέθους συνδέσεων που μπορούν να γίνουν ανάμεσα σε κουκκίδες τοποθετημένες σε μια επίπεδη επιφάνεια.
Ο Erdős είχε θέσει ένα ανώτατο όριο σε αυτόν τον αριθμό, το οποίο πολλοί ειδικοί θεωρούσαν σωστό. Όμως το μοντέλο AI έδειξε ότι ο αριθμός αυτός θα μπορούσε στην πραγματικότητα να είναι πολύ μεγαλύτερος, χρησιμοποιώντας ένα ασαφές τέχνασμα από την αλγεβρική θεωρία αριθμών για να δημιουργήσει πολύπλοκες δομές εξαιρετικά υψηλών διαστάσεων, οι οποίες στη συνέχεια μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν ώστε οι κουκκίδες να τοποθετηθούν με εντελώς διαφορετικό τρόπο από ό,τι είχαν εξετάσει οι άνθρωποι. Το αποτέλεσμα αιφνιδίασε τους μαθηματικούς, με ορισμένους να μην περιμένουν να δουν την εικασία του Erdős να διαψεύδεται στη διάρκεια της ζωής τους.
Οι νεοφυείς επιχειρήσεις σπεύδουν να φέρουν επανάσταση στα μαθηματικά με την AI
Τώρα, λιγότερο από μία εβδομάδα αργότερα, ο Thomas Bloom από το University of Manchester στο Ηνωμένο Βασίλειο και οι συνεργάτες του χρησιμοποίησαν ένα παρόμοιο επιχείρημα για να διαψεύσουν ακόμη μία διάσημη πρόταση, που είχε τεθεί πρώτη φορά από τον Erdős το 1976 και είναι γνωστή ως εικασία άθροισμα-γινόμενο.
«Ήταν έκπληξη, γιατί είχα ασχοληθεί αρκετά με το πρόβλημα», λέει ο Bloom. Αφού είδαν το τέχνασμα που χρησιμοποίησε η AI της OpenAI, η οποία αξιοποίησε θεωρία αριθμών για να λύσει ένα γεωμετρικό πρόβλημα, ο Bloom και η ομάδα του συνειδητοποίησαν ότι μπορούσαν να δοκιμάσουν το ίδιο και για την εικασία άθροισμα-γινόμενο. «Μόλις ξέρεις ότι κάτι μπορεί να είναι εφικτό, είσαι πιο πρόθυμος να προσπαθήσεις λίγο περισσότερο για να το κάνεις να δουλέψει», λέει.
Η εικασία άθροισμα-γινόμενο του Erdős αφορά συλλογές αριθμών ή σύνολα. Υποστηρίζει ότι αν είτε προσθέσεις είτε πολλαπλασιάσεις όλους τους αριθμούς αυτού του συνόλου, ανά ζεύγη, ώστε να δημιουργηθούν άλλα δύο σύνολα, τότε τουλάχιστον ένα από αυτά τα σύνολα πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερο από το αρχικό σύνολο — δεν μπορεί και τα δύο να είναι παρόμοια μικρά. Για παράδειγμα, αν πολλαπλασιάσεις όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 5, θα έχεις ένα μεγαλύτερο σύνολο από ό,τι αν τους προσθέσεις όλους, επειδή θα προκύψουν επαναλαμβανόμενα αποτελέσματα, όπως 2+3 και 1+4. Αντίθετα, σε ένα διαφορετικό σύνολο, όπως το 1, 2, 4, 8 και 16, το σύνολο των αθροισμάτων θα είναι μεγαλύτερο, επειδή το σύνολο των γινομένων περιέχει μόνο διάφορες δυνάμεις του 2.
Ο Erdős έθεσε ένα όριο για το πόσο μικρό θα μπορούσε να είναι το μεγαλύτερο από τα δύο σύνολα, των αθροισμάτων και των γινομένων, και υπέθεσε ότι αυτό θα ίσχυε για κάθε σύνολο αριθμών. Όμως ο Bloom και οι συνεργάτες του χρησιμοποίησαν το ίδιο τεχνικό τέχνασμα υψηλών διαστάσεων για να βρουν ένα σύνολο όπου τόσο το άθροισμα όσο και το γινόμενο είναι μικρότερα απ’ όσο πίστευε ο Erdős. Αντί να χρησιμοποιήσουν μια γεωμετρική πρόοδο αριθμών, όπως οι δυνάμεις του 2, μπορούν να δημιουργήσουν μια πρόοδο αριθμών σε πολλές διαφορετικές διαστάσεις ταυτόχρονα, κάτι που, όπως διαπίστωσαν, παράγει ένα σύνολο όπου ο αριθμός των διαφορετικών αθροισμάτων που μπορούν να προκύψουν είναι πολύ μικρότερος.
Fermat’s Last Theorem: still a must-read about a 350-year maths secret
«Η πραγματική έκπληξη για μένα ήταν πόσο απλό ήταν», λέει ο Bloom. «Η κατασκευή είναι τόσο απλή στην περιγραφή και πραγματικά καταλαβαίνουμε πλέον γιατί [η εικασία του Erdős] αποτυγχάνει, κάτι που θα μας βοηθήσει και σε πολλά άλλα συναφή προβλήματα».
«Αυτό είναι τυπικό για τα μαθηματικά ως ανταγωνιστικό σπορ», λέει ο Misha Rudnev από το University of Bristol, στο Ηνωμένο Βασίλειο. «Μόλις προκύψει μια νέα ιδέα, κάποιοι είναι έτοιμοι να δουλέψουν εικοσιτέσσερις ώρες για να βρουν περισσότερες εφαρμογές της, και αυτοί οι άνθρωποι είναι συνήθως πολύ καλοί και γρήγοροι».
Ο Rudnev λέει ότι η αρχική διαίσθηση του Erdős ήταν πως αυτή η εικασία θα έπρεπε να ισχύει κυρίως για ακέραιους, ή ολόκληρους αριθμούς, και αυτό εξακολουθεί να φαίνεται αληθινό, καθώς το σύνολο που βρήκαν ο Bloom και η ομάδα του χρησιμοποίησε εξωτικά αριθμητικά συστήματα που γίνονται όλο και πιο περίπλοκα όσο μεγαλώνουν τα σύνολά τους. Ο Bloom συμφωνεί ότι η εικασία εξακολουθεί να ισχύει για τους ακέραιους και ότι «υπάρχει ακόμη τεράστιος όγκος δουλειάς να γίνει· δεν καταλαβαίνουμε πραγματικά τι συμβαίνει».
Η βασική ιδέα της απόδειξης είναι ότι προβλήματα που μοιάζουν γεωμετρικά, όπως σύνολα δυνάμεων του 2, μπορούν στην πραγματικότητα να αντιμετωπιστούν με εργαλεία από τη θεωρία αριθμών, λέει ο Bloom. «Αυτό πραγματικά ανοίγει αυτά τα προβλήματα σε μια εντελώς νέα κοινότητα. Οι άνθρωποι της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών δεν ασχολούνταν ιδιαίτερα με αυτά τα ερωτήματα».
arXiv DOI: arXiv:2605.28781
