Δύο μαθηματικοί έκαναν, με «μεγάλη βοήθεια» από την τεχνητή νοημοσύνη, τρία σημαντικά βήματα προς τη λύση ενός από τα πιο γνωστά ανοιχτά μαθηματικά προβλήματα στον κόσμο. Άλλοι ερευνητές εκτιμούν ότι η προσέγγιση αυτή μπορεί με τον καιρό να οδηγήσει σε πλήρη λύση και ότι ίσως ήδη αρκεί για να διεκδικήσει το ζευγάρι το βραβείο του 1 εκατ. δολαρίων του Millennium Prize.
Οι εξισώσεις Navier-Stokes χρησιμοποιούνται εδώ και δύο αιώνες για τη μοντελοποίηση της ροής των ρευστών — είτε πρόκειται για τον σχεδιασμό πιο αποδοτικών και σταθερών πτερύγων αεροσκαφών, είτε για την προσομοίωση της ροής του αίματος στις αρτηρίες, είτε για την κατασκευή διαστημικών πυραύλων — παρότι σε ορισμένα σενάρια έχουν την τάση να «σπάνε» και να δίνουν παράλογα αποτελέσματα.
Η επίλυση αυτού του προβλήματος, δηλαδή το αν οι εξισώσεις συμφωνούν πλήρως με τον πραγματικό κόσμο ή αν η ομαλότητα και η τυρβώδης συμπεριφορά που μοντελοποιούν μπορεί να αποκλίνουν από αυτόν, είναι ένα από τα έξι εναπομείναντα Millennium Problems, τα δύσκολα μαθηματικά αινίγματα που έχει δημοσιεύσει το Clay Mathematics Institute και για τα οποία ο λύτης θα κερδίσει 1 εκατ. δολάρια.
Τώρα, ο Tristan Buckmaster από το New York University ανακοίνωσε εντυπωσιακά αποτελέσματα που μας φέρνουν πιο κοντά σε αυτή τη μεγαλύτερη λύση, μέσα από έγγραφο που ανέβασε στην ιστοσελίδα του και το οποίο αναπτύχθηκε μαζί με τον Levent Alpöge από την εταιρεία τεχνητής νοημοσύνης Anthropic.
Η ομάδα υποστηρίζει ότι έχει πετύχει τρία αποτελέσματα: δύο από αυτά δημοσιεύτηκαν μαζί με Lean formalisation — μια διαδικασία μετατροπής μιας μαθηματικής θεωρίας σε κώδικα υπολογιστή, ώστε να ελέγχεται αυστηρά για λογικά σφάλματα και αστοχίες — και ένα ακόμη δεν έχει δημοσιευτεί ακόμη, καθώς η ομάδα περιμένει να ολοκληρωθεί η τυπική του διατύπωση. Τα ευρήματα αφορούν στενούς συγγενείς των Navier-Stokes, την προσέγγιση Boussinesq και τις εξισώσεις Euler, αλλά δεν έχουν ακόμη γενικευτεί στο ευρύτερο πρόβλημα Navier-Stokes.
Στα κείμενα, περιγράφουν πώς ολοκλήρωσαν προηγούμενη δουλειά των Diego Córdoba και Luis Martínez-Zoroa με «μεγάλη βοήθεια από LLMs», μεταξύ των οποίων μεγάλα γλωσσικά μοντέλα της Anthropic και της OpenAI.
Στην ανακοίνωσή του, ο Buckmaster είπε ότι θεωρεί τα αποτελέσματα λιγότερο σημαντικά από το γεγονός ότι η τεχνητή νοημοσύνη εξελίσσεται γρήγορα σε ισχυρό πολλαπλασιαστή της ανθρώπινης μαθηματικής προσπάθειας και οδηγεί σε ταχύτερη πρόοδο. «Αυτή είναι μια στιγμή σαν το Deep Blue-Κασπάροφ», είπε, παραπέμποντας στον διάσημο αγώνα σκακιού του 1996, όταν ένας υπερυπολογιστής της IBM νίκησε τον παγκόσμιο πρωταθλητή Γκάρι Κασπάροφ. Ούτε ο Buckmaster ούτε ο Alpöge απάντησαν αμέσως στο αίτημα του New Scientist για σχόλιο.
Τα αποτελέσματα μπορούν να θεωρηθούν «σκαλοπάτια» προς μια πλήρη λύση των Navier-Stokes, λέει ο David Silvester από το University of Manchester, στο Ηνωμένο Βασίλειο.
Ο Silvester σημειώνει ότι η εργασία που εστιάζει στις εξισώσεις Euler δείχνει πως μπορούν να εμφανιστούν αυθόρμητες «εκρήξεις» ή τύρβη.
«Είναι ένα πραγματικά δύσκολο πρόβλημα, γιατί όταν διατυπώθηκε, δεν ήταν ξεκάθαρο αν το αποτέλεσμα ήταν αληθινό: αν δηλαδή υπάρχουν ομαλές λύσεις και η κατάσταση παραμένει σταθερή για πάντα ή αν, στην πραγματικότητα, υπάρχει κάποια έκρηξη. Άρα δεν είναι ότι προσπαθείς να αποδείξεις κάτι. Δεν ξέρεις αν προσπαθείς να το αποδείξεις ή να βρεις ένα αντιπαράδειγμα», λέει ο Silvester.
Ο ίδιος εκτιμά ότι η επέκταση αυτού του αποτελέσματος στα Navier-Stokes δεν θα είναι απλή, αλλά ότι η σημερινή δουλειά μπορεί από μόνη της να αρκεί ώστε το ζευγάρι να διεκδικήσει το Millennium Prize.
Ο Terence Tao από το University of California, Los Angeles, έγραψε σε ανάρτηση στα κοινωνικά δίκτυα ότι πιστεύει πως η δουλειά αυτή μας φέρνει πολύ κοντά σε μια πλήρη λύση των Navier-Stokes.
«Δεν φαίνεται να υπάρχει, επί της αρχής, κάτι που να εμποδίζει τις μεθόδους να επεκταθούν μέχρι τέλους στα Navier-Stokes», έγραψε ο Tao. «Σε αυτό το σημείο, δεν θα μου έκανε εντύπωση αν μπορούσε να ολοκληρωθεί μια τέτοια επέκταση ρίχνοντας τεράστια υπολογιστική ισχύ και βοήθεια από την τεχνητή νοημοσύνη σε αυτό το έργο».
Η Camilla Nobili από το University of Surrey, στο Ηνωμένο Βασίλειο, λέει ότι το βασικό ερώτημα τώρα είναι αν μπορεί να βρεθεί ένα αντίστοιχο παράδειγμα στα Navier-Stokes, που βασίζονται στις εξισώσεις Euler προσθέτοντας περισσότερες λεπτομέρειες όπως η τριβή και η διάχυση — στοιχεία που έχουν φυσική τάση να εξομαλύνουν τις προσομοιώσεις και να τις κρατούν πιο κανονικές. Πιστεύει ότι η εφαρμογή της ίδιας τεχνικής στα Navier-Stokes δεν θα είναι αρκετή και ότι η λύση θα απαιτήσει κάτι παραπάνω, αλλά παραμένει αισιόδοξη. «Είμαι βέβαιη, όπως και ο Terence [Tao], ότι αυτός είναι ένας καλός δρόμος», λέει η Nobili.
Παρά τη φήμη και τη μακρόχρονη αδυναμία επίλυσής του, ένα λειτουργικό αποτέλεσμα δύσκολα θα φέρει πρακτικό όφελος, λέει ο Silvester. Τα υπολογιστικά μοντέλα στη ρευστοδυναμική είναι ήδη τόσο καλά, ώστε έχουν καταστήσει τις αεροσήραγγες σε μεγάλο βαθμό περιττές.
«Τίποτα δεν θα αλλάξει στις εφαρμογές όπου χρησιμοποιείται [το Navier-Stokes] εξαιτίας αυτού του αποτελέσματος», λέει ο Silvester. «Ειλικρινά, είναι μια μαθηματική λεπτομέρεια.»
Το παρόν κείμενο δημιουργήθηκε με τη χρήση τεχνητής νοημοσύνης.
