Ένας απλός, φαινομενικά, κανόνας δίνει αφορμή για ένα είδος μαθηματικού «μαγικού κόλπου» που απασχολεί σπουδαία μυαλά από τη δεκαετία του 1930. Ο αρθρογράφος Jacob Aron εξερευνά την προέλευση της εικασίας Collatz, τον λόγο για τον οποίο καθηλώνει τους μαθηματικούς και το αν η τεχνητή νοημοσύνη θα μπορούσε να βοηθήσει να λυθεί οριστικά.
Ένα δενδροειδές σχήμα προκύπτει από τις αριθμητικές συνδέσεις σε ένα διάσημο μαθηματικό παζλ, γνωστό ως εικασία Collatz. Marzio De Biasi/Algoritmarte
Ένα δενδροειδές σχήμα προκύπτει από τις αριθμητικές συνδέσεις σε ένα διάσημο μαθηματικό παζλ, γνωστό ως εικασία Collatz.
Marzio De Biasi/Algoritmarte
Πριν από σχεδόν έναν αιώνα, ένας μαθηματικός διατύπωσε έναν γρίφο τόσο απλό στην εμφάνιση και τόσο δύσκολο στην πράξη, ώστε από τότε κρατά απασχολημένους τους μαθηματικούς. Έχει γίνει ένα είδος μιμιδίου που περνά από μυαλό σε μυαλό, με πολλούς να ισχυρίζονται ότι το έλυσαν, μόνο και μόνο για να καταρρεύσει η «απόδειξή» τους. Και προσοχή: μόλις εξηγήσω τους κανόνες, είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα θέλετε αμέσως να αρχίσετε να πειραματίζεστε κι εσείς. Δεν φέρω ευθύνη για τον χρόνο που θα χάσετε.
Η αρχή θυμίζει λίγο μαγικό κόλπο. Διαλέξτε έναν αριθμό, οποιονδήποτε — τέλος πάντων, οποιονδήποτε θετικό ακέραιο· μην προσπαθήσετε να κάνετε το έξυπνο με κάτι σαν το π. Αν είναι ζυγός, διαιρέστε τον δια 2. Αν είναι περιττός, πολλαπλασιάστε τον επί 3 και προσθέστε 1. Στη συνέχεια, εφαρμόστε τους ίδιους κανόνες στον νέο αριθμό. Αν το κάνετε αρκετές φορές, θα καταλήξετε πάντα στο 1.
Ή, τουλάχιστον, έτσι πιστεύουν οι μαθηματικοί. Το αν αυτό ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο είναι ένα ανοιχτό ερώτημα που ονομάζεται εικασία Collatz, από τον Lothar Collatz, ο οποίος το διερεύνησε πρώτος τη δεκαετία του 1930. Και, παραδόξως, είναι εξαιρετικά δύσκολο να απαντηθεί. Μάλιστα, ο Paul Erdős, ένας από τους πιο παραγωγικούς μαθηματικούς του 20ού αιώνα, είχε πει κάποτε ότι «τα μαθηματικά ίσως να μην είναι έτοιμα για τέτοια προβλήματα».
Γιατί όμως η εικασία Collatz είναι τόσο δύσκολο να αποδειχθεί; Αν είστε σαν εμένα, μόλις ακούσετε το πρόβλημα, θα πιάσετε αμέσως την αριθμομηχανή για να δείτε αν καταλήγετε στο 1. Πράγματι, οι μαθηματικοί έχουν χρησιμοποιήσει υπολογιστές για να ελέγξουν όλους τους αριθμούς έως το 2^71. Δυστυχώς, αυτό αφήνει άπειρο πλήθος αριθμών ακόμη προς έλεγχο, οπότε δεν μας φέρνει ιδιαίτερα κοντά σε μια απόδειξη.
Ένα από τα προβλήματα είναι ότι οι αριθμοί δεν συμπεριφέρονται με τακτικό τρόπο. Αν ξεκινήσουμε από το 1, τελειώσαμε. Για το 2, το διαιρούμε δια 2 και επίσης τελειώσαμε. Όμως για το 3, η ακολουθία είναι: 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Για το 7, είναι: 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Ίσως παρατηρήσετε ότι η ακολουθία του 7 περιέχει εκείνη του 3, και αυτό είναι ένα ενδιαφέρον στοιχείο της Collatz: μόλις φτάσετε σε έναν αριθμό που έχει ήδη ελεγχθεί, δεν χρειάζεται να τον ξαναελέγξετε, γιατί ξέρετε ήδη πού καταλήγει η ακολουθία.
Όλα αυτά κάνουν το πρόβλημα ακαταμάχητο για τους μαθηματικούς. Μου έρχεται στο μυαλό ένα απόφθεγμα από το εξαιρετικό webcomic xkcd: «Υπάρχει ένας συγκεκριμένος τύπος εγκεφάλου που απενεργοποιείται εύκολα. Αν του δείξεις ένα ενδιαφέρον πρόβλημα, εγκαταλείπει ακούσια τα πάντα για να ασχοληθεί μαζί του». Και πράγματι, όσο η μιμίδια Collatz εξαπλωνόταν, ακριβώς αυτό συνέβη.
Η εικασία Collatz έχει «χτυπήσει» πολλούς φανατικούς των μαθηματικών xkcd.com/356/
Η εικασία Collatz έχει «χτυπήσει» πολλούς φανατικούς των μαθηματικών.
Η ταυτότητα του απροσδιόριστου
Η ιχνηλάτηση της προέλευσης της εικασίας Collatz είναι εκπληκτικά δύσκολη, αν και όχι όσο η αναζήτηση μιας απόδειξης. Σε μια επιστολή του 1980, ο Collatz έγραψε ότι την είχε αρχίσει να διερευνά «πριν από σχεδόν 50 χρόνια». Φαίνεται ότι κράτησε την εικασία για χρόνια για τον εαυτό του, πιθανότατα θεωρώντας την απλώς μια άσκοπη περιέργεια. Άρχισε να διαδίδεται ευρύτερα το 1950, όταν ο Collatz πήγε στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών —τη μεγαλύτερη συνάντηση του κλάδου— και μίλησε άτυπα για το πρόβλημα με άλλους συμμετέχοντες.
Από εκεί διαδόθηκε μέσα από τα μαθηματικά δίκτυα και φαίνεται πως ανακαλύφθηκε ξανά και παρουσιάστηκε αλλιώς και από άλλους μαθηματικούς, με πολλά ονόματα, όπως Syracuse problem, Hasse’s algorithm ή απλώς 3x+1 problem. Σύμφωνα με τον Jeffery Lagarias, ο οποίος έχει μελετήσει εκτενώς την εικασία, δεν εμφανίστηκε σε έντυπη μορφή παρά το 1971, όταν περιγράφηκε ως «κομμάτι μαθηματικής φημολογίας», αλλά πραγματικά μπήκε στο μεγάλο προσκήνιο έναν χρόνο αργότερα, όταν ο Martin Gardner έγραψε γι’ αυτήν στη στήλη Mathematical Games του Scientific American. Αν δεν τον γνωρίζετε, ο Gardner είναι θρυλική μορφή στα «ψυχαγωγικά μαθηματικά» — δηλαδή σε όσα οι σοβαροί ερευνητές μαθηματικοί αντιμετωπίζουν λίγο αφ’ υψηλού, ενώ κατά βάθος τα απολαμβάνουν μαζί με τους υπόλοιπους φίλους των μαθηματικών.
Η εικασία Collatz συνέχισε για αρκετό καιρό να ισορροπεί ανάμεσα στα ψυχαγωγικά και τα ερευνητικά μαθηματικά. Μου προκάλεσε εντύπωση ένα άρθρο του 1983 με τίτλο «Don’t Try To Solve These Problems», το οποίο παραθέτει την εικασία μαζί με άλλες, προειδοποιώντας τους μαθηματικούς να μείνουν μακριά, ενώ γνωρίζει ότι τελικά δεν θα μπορέσουν να αντισταθούν στον πειρασμό.
Ο μαθηματικός Lothar Collatz αφιέρωσε 50 χρόνια στην εικασία του Oberwolfach Photo Collection
Ο μαθηματικός Lothar Collatz αφιέρωσε 50 χρόνια στην εικασία του.
Oberwolfach Photo Collection
Ένα από τα πρώτα σημαντικά αποτελέσματα ήρθε το 1976, όταν ο Riho Terras απέδειξε ένα σημαντικό θεώρημα. Θα παρατηρήσετε ότι αν ξεκινήσετε με έναν ζυγό αριθμό, η ακολουθία Collatz πάντα πέφτει κάτω από τον αρχικό αριθμό, αφού το πρώτο βήμα είναι η διαίρεση δια 2. Αν όμως ξεκινήσετε με έναν περιττό αριθμό, το πρώτο βήμα θα σας πάει πάνω από τον αρχικό αριθμό. Άρα το ερώτημα γίνεται: πόσος χρόνος χρειάζεται μέχρι να ξαναπέσετε κάτω από το αρχικό σημείο, με την ελπίδα ότι πηγαίνετε προς το 1; Ο Terras ονόμασε αυτό το διάστημα «χρόνο στάσης» για έναν αριθμό και έδειξε ότι σχεδόν σε όλες τις περιπτώσεις ο χρόνος στάσης είναι πεπερασμένος — δηλαδή οι αριθμοί τελικά πέφτουν, αντί να αυξάνονται για πάντα.
Αυτό δεν αρκεί για να αποδειχθεί η εικασία Collatz, αφού μία και μόνο αντεξήγηση, για έναν αδιανόητα μεγάλο αριθμό που δεν φτάνει ποτέ στο 1, θα αρκούσε για να την καταρρίψει. Είναι επίσης κάπως ασαφές: τι σημαίνει «σχεδόν όλες» όταν μιλάμε για άπειρες δυνατότητες; Περισσότερη ακρίβεια ήρθε το 2002, όταν οι Ilia Krasikov και Lagarias απέδειξαν ότι για έναν δεδομένο αριθμό x, τουλάχιστον x^0.84 αριθμοί κάτω από αυτόν θα φτάσουν τελικά στο 1. Αυτό ακούγεται λίγο μπερδεμένο — για παράδειγμα, αν πάρουμε το x ως 100, αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον 47 αριθμοί κάτω από το 100 θα φτάσουν στο 1. Στην πραγματικότητα, ξέρουμε ότι όλοι οι αριθμοί κάτω από το 100 φτάνουν στο 1, αλλά αυτό που κάνει η απόδειξη είναι να θέτει ένα σαφές όριο στο άγνωστο πεδίο της Collatz.
Η μεγαλύτερη πρόοδος ήρθε το 2019, όταν ο Terrence Tao, πιθανότατα ο κορυφαίος εν ζωή μαθηματικός στον κόσμο, αποφάσισε να ασχοληθεί με αυτό το διαβόητο πρόβλημα. Απέδειξε μια πολύ ισχυρότερη εκδοχή του αποτελέσματος του Terras, δείχνοντας ότι όχι μόνο «σχεδόν όλοι» οι αριθμοί πέφτουν τελικά κάτω από τον αρχικό τους, αλλά και ότι, πρακτικά, μπορούν να πέσουν όσο χαμηλά θέλετε. Αυτό μοιάζει πολύ κοντά σε απόδειξη της εικασίας Collatz — μόνο που, με μια έννοια, δεν είναι καθόλου πιο κοντά, γιατί πάντα υπάρχει η πιθανότητα να παραμονεύει κάπου στο απέραντο πλήθος των αριθμών μια αντεξήγηση.
Τι ακολουθεί λοιπόν για την εικασία Collatz; Καθώς έγραφα αυτή τη στήλη, έγινε γνωστό ότι η OpenAI χρησιμοποίησε ένα μεγάλο γλωσσικό μοντέλο για να λύσει ένα σημαντικό πρόβλημα που είχε αφήσει άφωνους τους μαθηματικούς επί 80 χρόνια. Το έκανε όχι αποδεικνύοντάς το σωστό, αλλά βρίσκοντας μια απροσδόκητη αντεξήγηση. Θα μπορούσε να συμβεί το ίδιο και με την Collatz; Δεν θα τολμούσα να προβλέψω σε αυτό το σημείο, αλλά θα είχε σίγουρα μια δόση ειρωνείας αν ένα πρόβλημα που έχει «μολύνει» τόσα ανθρώπινα μυαλά έβρισκε τελικά λύση από μια τεχνητή νοημοσύνη.
Μια χρυσή εποχή των μαθηματικών ανατέλλει και οι μαθηματικοί ανησυχούν
Οι μαθηματικοί αιφνιδιάζονται από την πρόοδο της τεχνητής νοημοσύνης στην επίλυση δύσκολων προβλημάτων, με αρκετούς να αναρωτιούνται αν θα υπάρχει ακόμη χώρος για τους ανθρώπους
Λάβετε μια εβδομαδιαία δόση ανακαλύψεων στο inbox σας. Θα σας κρατάμε επίσης ενήμερους για εκδηλώσεις και ειδικές προσφορές του New Scientist.
