Ένα μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης που ανέπτυξε η OpenAI έλυσε μια εικασία του Paul Erdős που παρέμενε άλυτη επί δεκαετίες, προκαλώντας έντονες αντιδράσεις στην επιστημονική κοινότητα. Πολλοί μαθηματικοί μιλούν ήδη για μια ιστορική στιγμή για τις δυνατότητες της τεχνητής νοημοσύνης στα μαθηματικά.
Το πρόβλημα των μοναδιαίων αποστάσεων στο επίπεδο αφορά το πόσες ίσου μήκους ευθείες μπορείς να σχηματίσεις ανάμεσα σε κουκκίδες πάνω σε ένα άπειρο φύλλο χαρτί.
Μια μαθηματική εικασία 80 ετών, που είχε ξεφύγει από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του κόσμου, φαίνεται πως λύθηκε από μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης της OpenAI. Το αποτέλεσμα έχει εκπλήξει τους ειδικούς και χαρακτηρίζεται ως καίρια στιγμή για τις μαθηματικές δυνατότητες της AI.
«Δεν περίμενα να δω αυτό το πρόβλημα λυμένο στη διάρκεια της ζωής μου», λέει ο Misha Rudnev από το Πανεπιστήμιο του Bristol, στη Βρετανία. «Είναι πραγματικά βόμβα».
Ο μαθηματικός του 20ού αιώνα Paul Erdős θεωρούσε αυτό το αίνιγμα, γνωστό ως πρόβλημα των μοναδιαίων αποστάσεων στο επίπεδο, ως τη «πιο εντυπωσιακή συμβολή του στη γεωμετρία», επειδή ήταν φαινομενικά απλό στην περιγραφή του, αλλά εξαιρετικά δύσκολο στην απάντηση. Το ερώτημα ήταν το εξής: αν πάρεις ένα άπειρο κομμάτι χαρτί και βάλεις πάνω του έναν αριθμό από κουκκίδες με όποια διάταξη θέλεις, ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ίσου μήκους ευθειών που μπορείς να σχεδιάσεις ανάμεσα σε αυτές τις κουκκίδες;
Ο Erdős είχε διατυπώσει την εικασία ότι τα μοτίβα που δίνουν τις περισσότερες συνδέσεις είναι εκείνα όπου τα σημεία τοποθετούνται σε πλέγμα, πράγμα που σημαίνει ότι το μέγιστο πλήθος συνδέσεων θα ήταν μόνο λίγο μεγαλύτερο από τον αριθμό των ίδιων των σημείων. Διαδοχικές προσπάθειες να αποδειχθεί ότι αυτό είναι πράγματι το ανώτατο όριο ή να βρεθεί διαφορετική διάταξη σημείων που θα έδινε πολύ περισσότερες συνδέσεις απέφεραν μόνο μικρές προόδους. Η πιο πρόσφατη βελτίωση στην εικασία του Erdős έγινε πριν από περισσότερα από 40 χρόνια.
Η μαθηματική επιστήμη περνά τη μεγαλύτερη αλλαγή στην ιστορία της.
Τα νεότερα για όσα συμβαίνουν στην επιστήμη και γιατί έχουν σημασία, κάθε μέρα.
Τώρα, ένα μοντέλο της OpenAI έδειξε ότι ο Erdős είχε κάνει σημαντικό λάθος και ότι τα σημεία μπορούν να τοποθετηθούν σε λιγότερο συμμετρικά μοτίβα, τα οποία οδηγούν σε πολύ μεγαλύτερο αριθμό ζευγών.
«Η πρώτη μου αντίδραση ήταν δυσπιστία», λέει ο Will Sawin από το Πανεπιστήμιο Princeton. «Νόμιζα ότι ο τρόπος με τον οποίο προσπαθούσε να το λύσει δεν θα λειτουργούσε, αλλά μετά το εξέτασα περισσότερο και πείστηκα ότι όντως λειτουργεί. Πολύ γρήγορα κατέληξα ότι αυτή είναι η σημαντικότερη επιτυχία της AI στα μαθηματικά μέχρι σήμερα».
Η OpenAI δεν έχει διευκρινίσει ακριβώς πώς το μοντέλο διαφέρει από τις δημόσια διαθέσιμες AIs ούτε πώς εκπαιδεύτηκε, αλλά οι ερευνητές της εταιρείας έχουν δηλώσει δημόσια ότι το μοντέλο είναι «γενικής χρήσης» και δεν εκπαιδεύτηκε «με στόχο την έρευνα στα μαθηματικά».
Η AI δανείστηκε μια τεχνική από την αλγεβρική θεωρία αριθμών για να κατασκευάσει τεράστια πλέγματα σε πολύ υψηλότερες διαστάσεις από τις δύο ενός επιπέδου. Αφού εντόπισε και δημιούργησε αυτά τα πιο σύνθετα σχήματα, τα συμπίεσε έπειτα σε δύο διαστάσεις, παράγοντας μια σκιά των πολυδιάστατων σχημάτων.
«Το αντιπαράδειγμα που ανακάλυψε η AI είναι σύνθετο και, παρότι οι ιδέες για να παραχθεί υπήρχαν ήδη στη βιβλιογραφία, χρειάζεται σίγουρα ευρηματικότητα για να συνδυαστούν», λέει ο Kevin Buzzard από το Imperial College London.
Παρά το εντυπωσιακό αποτέλεσμα, ορισμένοι εκτιμούν ότι αυτό προέκυψε και επειδή οι μαθηματικοί δεν είχαν καν εξετάσει σοβαρά το ενδεχόμενο η αρχική εικασία του Erdős να είναι λανθασμένη, λέει ο Samuel Mansfield από το Πανεπιστήμιο του Manchester, στη Βρετανία. Ακόμη κι αν οι μαθηματικοί δοκίμαζαν να την αντικρούσουν, ελάχιστοι ειδικοί στη γεωμετρία θα είχαν επαρκή γνώση προχωρημένης θεωρίας αριθμών για να το κάνουν. «Είναι κάτι που απαιτεί να γνωρίζεις πολλά από διαφορετικούς τομείς», λέει. «Εκ των υστέρων, ίσως δεν είναι τόσο παράξενο. Μάλλον αυτό είναι ακριβώς κάτι στο οποίο η AI θα ήταν εξαιρετικά καλή».
Η βασική γοητεία του προβλήματος ήταν η «καθαρά πνευματική πρόκληση», λέει ο Rudnev, και ίσως να μην έχει κάποια ιδιαίτερη επίδραση σε άλλα ανοιχτά προβλήματα, όμως έχει ήδη πυροδοτήσει νέα εργασία. Αφού είδε την απόδειξη, ο Sawin χρησιμοποίησε την τεχνική που είχε ανακαλύψει η AI για να δώσει έναν ελαφρώς βελτιωμένο, μεγαλύτερο αριθμό για το πόσα σημεία μπορούν να συνδεθούν μεταξύ τους.
«Όπως και με πολλές άλλες ανακαλύψεις της AI, οι άνθρωποι δεν άργησαν καθόλου να εσωτερικεύσουν, να κατανοήσουν και να γενικεύσουν τα επιχειρήματα», λέει ο Buzzard. «Μπορεί κανείς να το συγκρίνει με ορισμένες ανθρώπινες ανακαλύψεις που χρειάστηκαν μήνες ή και χρόνια για να επαληθευτούν».
