Οι μαθηματικοί παρακολουθούν με έκπληξη την πρόοδο της τεχνητής νοημοσύνης στη λύση προχωρημένων προβλημάτων, με αρκετούς να αναρωτιούνται αν θα υπάρχει ακόμη χώρος για τον άνθρωπο.
Προσπαθώ να λύσω ένα μαθηματικό αίνιγμα που έχει σταματήσει πολλούς από τους σπουδαιότερους στοχαστές της ανθρωπότητας. Δεν έχω καμία μαθηματική εκπαίδευση, πέρα από ένα μακρινό πτυχίο στη φυσική, κάτι που από μόνο του θα έκανε τις πιθανότητες επιτυχίας μου ελάχιστες. Όμως έχω και ένα κόλπο στο μανίκι: ένα είδος μαθηματικού τζίνι που μπορεί να φέρνει στο φως αινιγματικά μυστικά σχεδόν από το πουθενά. Κάνω μια σύντομη ερώτηση για μια ιδιαίτερα δύσκολη εικασία στη θεωρία αριθμών και μετά κρατάω την ανάσα μου.
Ίσως η λέξη «τζίνι» να είναι υπερβολική. Στην πραγματικότητα χρησιμοποιώ το GPT 5.5 Pro, την πιο πρόσφατη έκδοση του κορυφαίου μοντέλου της OpenAI. Για τους μαθηματικούς, όμως, τα σύγχρονα μοντέλα τεχνητής νοημοσύνης μοιάζουν να έχουν κάτι μαγικό. Ακόμη και σε μια εποχή ταχείας προόδου, η βελτίωση των μαθηματικών ικανοτήτων της AI είναι εντυπωσιακή. Μέσα σε λίγους μήνες, πολλοί εξέχοντες μαθηματικοί έχουν πάρει πίσω την προηγούμενη δυσπιστία τους και τη μετατρέπουν σε μεγάλες προβλέψεις, ψιθυρίζοντας πίσω από κλειστές πόρτες για ανησυχίες σχετικά με τη δουλειά τους και για το αν αξίζει καν να ξεκινήσει κανείς ένα συγκεκριμένο ερευνητικό έργο, αν η AI μπορεί να φτάσει εκεί πρώτη.
Τον Απρίλιο επισκέφθηκα το Σαν Φρανσίσκο, όπου το μέλλον μοιάζει συχνά να φτάνει πιο γρήγορα, για να παρακολουθήσω μια βιαστικά οργανωμένη συνάντηση μαθηματικών και ερευνητών της AI. Στην αίθουσα υπήρχε ενθουσιασμός και περιέργεια, αλλά και μια αίσθηση υπαρξιακής αγωνίας. Αν κάποιος σαν εμένα μπορούσε να παράγει μαθηματικά με το πάτημα ενός κουμπιού, τι θα σήμαινε αυτό για τους επαγγελματίες; Θα χρειαζόμαστε τελικά ανθρώπινους μαθηματικούς; Και θα καταφέρουν οι μηχανές να λύσουν προβλήματα που κανένας άνθρωπος δεν μπορεί; Οι απαντήσεις μπορεί να έχουν βαθιές συνέπειες για την πανάρχαια πρακτική των μαθηματικών, και μοιάζει οι μαθηματικοί να έχουν μόνο ένα μικρό παράθυρο για να προετοιμαστούν.
Τα μαθηματικά περνούν τη μεγαλύτερη αλλαγή στην ιστορία τους.
«Νομίζω ότι η AI θα μπει δυναμικά και θα φέρει σημαντική επανάσταση στον κλάδο», λέει ο Jacob Tsimerman από το Πανεπιστήμιο του Τορόντο στον Καναδά, που βοήθησε στην οργάνωση του συνεδρίου.
Οι απόψεις για το μέλλον διχάζονται. «Μένουν όλο και λιγότερα μέρη για να κρυφτούμε», έγραψε πρόσφατα ο Jeremy Avigad από το Carnegie Mellon University στην Πενσυλβάνια σε ένα δοκίμιο. «Πρέπει να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι η AI σύντομα θα μπορεί να αποδεικνύει θεωρήματα καλύτερα από εμάς».
Αρκετοί μαθηματικοί υποδέχονται θετικά τη μηχανοποίηση των μαθηματικών. Ο Terence Tao από το University of California, Los Angeles, έχει πει ότι ο κλάδος περνά από μια εποχή «έλλειψης αποδείξεων» σε μια εποχή αφθονίας, η οποία μπορεί να δει πολλά παλιά και δύσκολα προβλήματα να λυγίζουν μπροστά στην AI. Αντί να εστιάζουν στο ποιος θα βρει πρώτος μια απόδειξη, οι μαθηματικοί ίσως ανταγωνίζονται πλέον στο ποιος θα την κατανοήσει πρώτος, υποστηρίζει.
Η τεχνητή νοημοσύνη δεν είναι terra incognita για τους μαθηματικούς, όμως μόλις τα τελευταία χρόνια άρχισε να δίνει ουσιαστικές συμβολές. Στην αρχή, επρόκειτο για χειροποίητες εφαρμογές, με ειδικά σχεδιασμένα νευρωνικά δίκτυα που στόχευαν σε συγκεκριμένα προβλήματα. Αυτά τα εξατομικευμένα μοντέλα αποδείχθηκαν δύσκολο να εφαρμοστούν σε διαφορετικούς μαθηματικούς τομείς και παρέμεναν ενδιαφέροντα μόνο για ένα ελάχιστο ποσοστό των μαθηματικών.
Ακόμη και όταν το ChatGPT κυκλοφόρησε το 2022, οι μαθηματικοί δεν έδειξαν εντυπωσιασμένοι. Τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα, όπως το GPT-3.5 που στήριζε την πρώτη έκδοση του chatbot της OpenAI, δυσκολεύονταν ακόμη και σε βασικές αριθμητικές πράξεις και παρήγαν με σιγουριά ανοησίες όταν τους ζητούσαν να λύσουν μαθηματικά προβλήματα ερευνητικού επιπέδου. Όμως όσο τα LLMs μεγάλωναν και εκπαιδεύονταν σε ολοένα περισσότερα μαθηματικά δεδομένα, άρχισαν να δίνουν αποτελέσματα.
Ένα από τα πρώτα σημάδια ότι η AI γινόταν πιο ικανή ήρθε όταν ζητήθηκε από μοντέλα να δοκιμαστούν στην International Mathematical Olympiad (IMO), μια ελίτ εξέταση για μαθητές λυκείου με μόλις έξι ερωτήσεις εξαιρετικά δύσκολες. Η μαθηματική διαίσθηση και το εύρος των γνωστικών πεδίων που απαιτούνται για την επιτυχία έκαναν πολλούς ερευνητές να τη θεωρήσουν σημείο αναφοράς για τη μαθηματική AI, αλλά πίστευαν ότι θα χρειαζόταν χρόνια, ίσως και μια δεκαετία, για να σημειώσει υψηλή επίδοση.
Έκαναν λάθος. Τον Ιούλιο του 2024, η Google DeepMind ανακοίνωσε ότι το σύστημα AlphaProof μπορούσε να λύσει τέσσερις από τις έξι ερωτήσεις της φετινής IMO, επίδοση αρκετή για ασημένιο επίπεδο. Ήταν εντυπωσιακό, όμως το AlphaProof δεν ήταν αυστηρά μεγάλο γλωσσικό μοντέλο και είχε προσαρμοστεί ειδικά σε ερωτήσεις τύπου IMO, όπως η γεωμετρία, ενώ δεν ήταν σαφές πόσο ακόμη θα μπορούσε να προχωρήσει. Μόλις έναν χρόνο αργότερα, η Google και η OpenAI ανακοίνωσαν ότι πέτυχαν χρυσό επίπεδο, με την OpenAI μάλιστα να χρησιμοποιεί ένα μοντέλο λιγότερο προσανατολισμένο στα μαθηματικά. Τα αποτελέσματα έκαναν τους μαθηματικούς να σταθούν προσοχή. «Άνοιξαν πραγματικά τα μάτια τους», λέει ο Ravi Vakil από το Stanford University στην Καλιφόρνια.
Δεν πέρασε πολύς καιρός μέχρι αυτές οι δυνατότητες να γίνουν διαθέσιμες στο κοινό, όπου βρήκαν γρήγορα χρήση πέρα από τους διαγωνισμούς λυκείου και άρχισαν να μπαίνουν στα ερευνητικά μαθηματικά. Ο Thomas Bloom από το University of Manchester στη Βρετανία παρατήρησε για πρώτη φορά τον αντίκτυπο αυτών των νεότερων μοντέλων τους τελευταίους μήνες του 2025. Διαχειρίζεται έναν ιστότοπο που παρακολουθεί την πρόοδο σε ένα σύνολο περισσότερων από χίλια προβλήματα που είχε θέσει ο διάσημος μαθηματικός Paul Erdős. Είναι συνήθως εύκολα στη διατύπωση, αλλά ποικίλλουν από σχετικά απλά έως εξαιρετικά δύσκολα και πολλά από αυτά θεωρούνται ορόσημα για τη μαθηματική πρόοδο.
Ο Bloom άρχισε να δέχεται σχόλια στον ιστότοπο από ανθρώπους που δεν αναγνώριζε. Στην αρχή, χρησιμοποιούσαν απλώς το GPT-5, που είχε μόλις κυκλοφορήσει, για να βρουν δυσπρόσιτες παραπομπές στη βιβλιογραφία, οι οποίες ίσως βοηθούσαν σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα. Όμως μέσα σε λίγους μήνες, η κυκλοφορία πιο ισχυρών μοντέλων όπως το GPT 5.2 Pro οδήγησε χρήστες να δημοσιεύουν ολοκληρωμένες λύσεις με τη βοήθεια της AI, κάποιες από τις οποίες ο Bloom και οι συνεργάτες του επιβεβαίωσαν ως σωστές. Αυτές οι λύσεις απαιτούσαν «όχι αμελητέα προσπάθεια», είπε ο Bloom τότε. «Είναι απίστευτο ότι η AI μπορεί να το κάνει αυτό».
Ο αλάνθαστος τρόπος να κερδίσετε κάθε λοταρία, σύμφωνα με τα μαθηματικά
Και κάτι ακόμη: ορισμένες από αυτές τις λύσεις δεν προέρχονταν από επαγγελματίες μαθηματικούς, αλλά από ερασιτέχνες και αρχάριους. Ο Kevin Barreto, που βρίσκεται στο δεύτερο έτος προπτυχιακών σπουδών Μαθηματικών στο University of Cambridge, έχει λύσει πολλά προβλήματα του Erdős με τη βοήθεια της AI, συχνά μαζί με τον συνεργάτη του Liam Price, που δεν έχει πτυχίο στα μαθηματικά ούτε κάποια επίσημη εκπαίδευση.
Εμπνευσμένος από την επιτυχία τους, ήθελα να δοκιμάσω κι εγώ την αυτόνομη μαθηματική εργασία. Αν και θεωρητικά αυτά τα εργαλεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν από οποιονδήποτε, ο Barreto και ο Price μοιάζουν να έχουν μια ιδιαίτερη ικανότητα στο να ωθούν το τζίνι να δίνει χρήσιμες απαντήσεις, οπότε ζήτησα βοήθεια. Το μυστικό δεν είναι απλώς να ζητήσεις από το μοντέλο να δώσει μια απόδειξη, λέει ο Barreto, αλλά, παράξενα, να του προσφέρεις ένα είδος υποστήριξης, όπως «κάνε ό,τι καλύτερο μπορείς» ή «μην τα παρατάς». «Προσπαθείς να ενθαρρύνεις το μοντέλο», λέει. «Προσπαθείς να το οδηγήσεις να πιστέψει ότι το πρόβλημα είναι πιο εύκολο απ’ όσο πραγματικά είναι».
Ακόμη κι έτσι, η επιτυχία δεν ήταν δεδομένη. Η λύση ορισμένων προβλημάτων έχει απαιτήσει από τον Barreto πολλές προσπάθειες, αν τελικά τα καταφέρει. «Το να αποσπάσεις τη σωστή στρατηγική απόδειξης είναι ουσιαστικά σαν να προσπαθείς να παίξεις λοταρία», λέει.
Παρόλα αυτά, ήθελα να δοκιμάσω και εγώ την τύχη μου στο καζίνο των μαθηματικών αποδείξεων. Επέλεξα ένα άλυτο πρόβλημα του Erdős, το 710, που αφορά μια λίστα απαιτήσεων τις οποίες πρέπει να ικανοποιεί ένα σύνολο αριθμών, με στόχο να βρεθεί ένα σύνολο με τη μικρότερη διαφορά ανάμεσα στον μικρότερο και τον μεγαλύτερο αριθμό. Είναι λίγο σαν να έχεις μια λίστα από απαιτητικούς πελάτες ξενοδοχείου, που ζητούν, για παράδειγμα, δωμάτιο με μπανιέρα ή θέα στη θάλασσα, και να πρέπει να βρεις το μικρότερο δυνατό συγκρότημα δωματίων που θα τους ικανοποιεί όλους.
Ο μαθηματικός Paul Erdős (αριστερά) έθεσε εκατοντάδες προβλήματα, τα οποία η AI λύνει όλο και πιο αποτελεσματικά
New York Daily News Archive/NY Daily News via Getty Images
Έχοντας επίγνωση ότι έπρεπε να χρησιμοποιήσω το πιο ισχυρό διαθέσιμο μοντέλο AI, ζήτησα από την OpenAI πρόσβαση στο ChatGPT 5.5 Pro, το οποίο συνήθως κοστίζει 200 δολάρια τον μήνα, αλλά παρασχέθηκε δωρεάν για το συγκεκριμένο άρθρο. Όπως μου πρότεινε ο Barreto, το μήνυμά μου προς την AI υπαινισσόταν ότι η λύση είναι κοντά και πως «απλώς χρειάζονται μερικά έξυπνα τεχνάσματα».
Καθώς η AI δούλευε, στράφηκα στα πιο πρόσφατα βήματα αυτής της μαθηματικής επανάστασης. Αν η επίλυση προβλημάτων του Erdős δείχνει την AI να πλησιάζει την πόρτα των ερευνητικών μαθηματικών, τους τελευταίους μήνες την έχει πλέον ρίξει κάτω. Ακολουθεί σταθερή ροή μαθηματικών εργασιών που ισχυρίζονται ότι λύνουν πραγματικά, αιχμής προβλήματα.
Τον Ιανουάριο, ο Vakil και οι συνεργάτες του ανέβασαν μία τέτοια εργασία, σημειώνοντας ότι «η απόδειξη του αποτελέσματος προέκυψε σε συνεργασία με το Google Gemini και σχετικά εργαλεία». Η απόδειξη εστιάζει σε ένα ιδιαίτερα δύσκολο πρόβλημα για το πώς ορισμένα σχήματα που μοιάζουν με σφαίρες μπορούν να συνδεθούν με άλλα μαθηματικά αντικείμενα που ονομάζονται flag spaces, τα οποία μπορούν να θεωρηθούν ως συλλογές αντικειμένων που μοιάζουν με ρώσικες κούκλες. Αυτό θα έδινε μια σημαντική σύνδεση ανάμεσα στην τοπολογία, που αφορά πιο γενικές ιδιότητες των σχημάτων, και την αλγεβρική γεωμετρία, που ασχολείται με τα ακριβή σχήματα καθαυτά. Το έργο δυσκολεύει λόγω του πλήθους των τρόπων με τους οποίους τα flag spaces και τα σχήματα που μοιάζουν με σφαίρες μπορούν να αντιστοιχηθούν.
Ο Vakil και οι συνεργάτες του έδωσαν αρχικά μια απλούστερη εκδοχή αυτού που ήθελαν να αποδείξουν σε ένα ειδικά προσαρμοσμένο μοντέλο AI της Google DeepMind. Το μοντέλο βρήκε μια μαθηματική δομή που δεν είχαν δει προηγουμένως, κάτι που τους έδειξε πώς να γενικεύσουν και να γράψουν ολόκληρο το επιχείρημα, το οποίο τελικά αποδείχθηκε απλούστερο απ’ όσο φαινόταν αρχικά.
«Δεν υπάρχει τρόπος η AI να το έκανε μόνη της, επειδή δεν θα ήξερε τη σωστή ερώτηση. Εμείς της είπαμε απολύτως τι να κάνει», λέει ο Vakil. Ταυτόχρονα, όμως, η AI έδωσε μια συντόμευση. «Η εργασία ίσως να μην είχε υπάρξει ποτέ, επειδή ίσως να μην είχαμε ποτέ τον χρόνο να καθίσουμε μαζί και να βρούμε το επιχείρημα», λέει. «Έτσι θα συμβαίνουν περισσότερο τα πράγματα. Το μέλλον θα είναι ένας συνδυασμός ανθρώπου και μηχανής».
Ωστόσο, αυτή η γραμμή γίνεται ήδη όλο και πιο θολή. Τον ίδιο μήνα με την εργασία του Vakil, ο Tony Feng από το University of California, Berkeley, που επίσης συνεργάζεται με τη Google DeepMind, δημοσίευσε μια εργασία στην οποία περιέγραφε πώς χρησιμοποίησε το AI σύστημα Aletheia της Google για να υπολογίσει μια προηγουμένως άγνωστη συλλογή αριθμών, κρίσιμη για τη μετάφραση ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς μαθηματικούς κλάδους, την αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών. Η κατασκευή τέτοιων γεφυρών είναι σημαντικός στόχος στο πρόγραμμα Langlands, το οποίο συχνά θεωρείται η μεγάλη ενοποιητική θεωρία των μαθηματικών. Σύμφωνα με τον Feng, το «βασικό μαθηματικό περιεχόμενο» δημιουργήθηκε εξ ολοκλήρου από το Aletheia.
Το μεγαλύτερο μέχρι σήμερα αποτέλεσμα στην AI και τα μαθηματικά ήρθε πριν από λίγες εβδομάδες, τον Μάιο, όταν η OpenAI ανακοίνωσε ότι χρησιμοποίησε ένα μοντέλο που δεν είχε κυκλοφορήσει για να λύσει μια εικασία 80 ετών, γνωστή ως planar unit distance problem. Η εταιρεία δεν έδωσε πλήρεις λεπτομέρειες για το μοντέλο, πέρα από το ότι επρόκειτο για γενικής χρήσης AI και όχι για σύστημα ειδικά εκπαιδευμένο στα μαθηματικά. Η αντίδραση των μαθηματικών ήταν αυτή της αποσβολωμένης δυσπιστίας.
Οι τεράστιες ακολουθίες αριθμών που σπάνε τους κανόνες των μαθηματικών
Γίνεται όλο και πιο δύσκολο να παρακολουθήσει κανείς τον καταιγισμό των μαθηματικών εργασιών που υποστηρίζονται από την AI, όχι μόνο για τους ερευνητές αλλά και για τους επαγγελματίες μαθηματικούς, οι οποίοι δοκιμάζουν ήδη προβλήματα με τη βοήθεια της AI που ίσως παλαιότερα δεν είχαν χρόνο να προσεγγίσουν.
«Ανοίγει έναν ολόκληρο κόσμο δυνατοτήτων», λέει ο Alex Kontorovich από το Rutgers University στο Νιου Τζέρσεϊ. «Μπορώ να φανταστώ έργα που θα μπορούσα να αναλάβω αυτό το καλοκαίρι, πράγματα που ξέρω ότι θα μου έπαιρναν πέντε χρόνια και που δεν θα είχα καν ξεκινήσει».
Μπορούν αυτές οι νέες δυνατότητες να περιλαμβάνουν ακόμη και μια λύση για την υπόθεση Riemann, ένα βαθύ ερώτημα για την προέλευση των πρώτων αριθμών που είναι ένα από τα Millennium Prize Problems, τα οποία συχνά θεωρούνται οι μεγαλύτερες προκλήσεις στα μαθηματικά; Several
