Τον Οκτώβριο του 2024 βρέθηκα σε ένα εργαστήριο στο Harvard University όπου μαθηματικοί συζητούσαν για τη χρήση της τεχνητής νοημοσύνης στο πεδίο τους. Οι περισσότεροι έδειχναν περισσότερο ενθουσιασμένοι με ένα νέο εργαλείο παρά ανήσυχοι για το μέλλον των μαθηματικών. Στο διάλειμμα για καφέ, βρέθηκα με μια παρέα συμμετεχόντων που συμφωνούσαν ότι δεν έχει σημασία αν ένα ανοιχτό πρόβλημα το λύσει άνθρωπος ή υπολογιστής. Αυτό που θέλουν είναι να διαβάσουν την απόδειξη.
«Δηλαδή πραγματικά δεν σας νοιάζει αν η Υπόθεση Riemann λυθεί από άνθρωπο ή από τεχνητή νοημοσύνη;» ρώτησα. Ένιωσα να πέφτει μια ελαφριά σιωπή, με μισά χαμόγελα και βλέμματα συνεννόησης. Συχνά αισθάνομαι ένα βήμα πίσω σε τέτοιους κύκλους.
«Μια τεχνητή νοημοσύνη που μπορεί να αποδείξει την Υπόθεση Riemann δεν είναι κάτι που θα ήθελα να συναντήσω», είπε ο Andrew Sutherland, θεωρητικός αριθμών στο Massachusetts Institute of Technology. «Αν συμβεί αυτό, το αν οι μαθηματικοί θα έχουν δουλειές θα είναι το τελευταίο μας πρόβλημα».
Είχα απλώς πετάξει το όνομα ενός ανοιχτού ερωτήματος που είχα ακουστά. Άρχισα όμως να αναρωτιέμαι: τι είναι αυτός ο γρίφος που υποτίθεται ότι μόνο μια πραγματικά πανίσχυρη υπερνοημοσύνη θα μπορούσε να λύσει;
Από τη δημοσίευσή της, το 1859, η εικασία του Bernhard Riemann για τους πρώτους αριθμούς βρίσκεται σε κάθε λίστα με τα σημαντικότερα άλυτα μυστήρια των μαθηματικών. Το 1900 ο David Hilbert τη συμπεριέλαβε στα προβλήματα-οδικό χάρτη για τον 20ό αιώνα. Στο γύρισμα του επόμενου αιώνα, το Clay Mathematics Institute υποσχέθηκε έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για τη λύση της Υπόθεσης Riemann, εντάσσοντάς τη στα επτά Millennium Problems.
Η Υπόθεση Riemann αφορά μια τόσο δύστροπη μαθηματική συνάρτηση ώστε, για τα περισσότερα εισαγόμενα μεγέθη, δεν γνωρίζουμε την ακριβή της τιμή. Το ενδιαφέρον στρέφεται στα σημεία όπου η τιμή της γίνεται μηδέν. Αν ξέραμε αυτά τα «μηδενικά», οι θεωρητικοί αριθμών θα αποκτούσαν, πρακτικά, έλεγχο πάνω στους πρώτους αριθμούς. Θα μπορούσαν να πουν με ακρίβεια πού βρίσκονται όλοι οι πρώτοι πάνω στην άπειρη αριθμητική ευθεία. Η απόδειξη της υπόθεσης θα είχε εκτεταμένες συνέπειες σε ολόκληρα τα μαθηματικά, από την κρυπτογραφία έως και την πυρηνική φυσική.
«Μια τεχνητή νοημοσύνη που μπορεί να αποδείξει την Υπόθεση Riemann δεν είναι κάτι που θα ήθελα να συναντήσω.» —Andrew Sutherland, M.I.T.
Κι όμως, παρά τα πλούσια κίνητρα, η πρόοδος είναι ελάχιστη. «Η βασική κατάσταση είναι: δεν συμβαίνει τίποτα, και δεν περιμένω πραγματικά να συμβεί κάτι», λέει ο Alex Kontorovich, μαθηματικός στο Rutgers University. Ελάχιστοι ασχολούνται ενεργά. «Δεν αφιερώνω μεγάλο κομμάτι της ημέρας μου σε αυτήν», λέει ο James Maynard από το University of Oxford. «Απλώς δεν έχω καμία καλή ιδέα για το πώς να ξεκινήσω».
Η κεντρική θέση της Υπόθεσης Riemann στα μαθηματικά οφείλεται στο κύρος των πρώτων αριθμών. «Το να με ρωτάτε γιατί οι θεωρητικοί αριθμών ενδιαφέρονται τόσο για τους πρώτους είναι σαν να ρωτάτε γιατί οι φυσικοί ενδιαφέρονται τόσο για τις δυνάμεις», λέει με μια ελαφρά αιχμή ο Brian Conrad από το Stanford University.
Η εμμονή αυτή ξεκινά από χιλιάδες χρόνια πριν, από τις απαρχές της αριθμητικής, δηλαδή την απαρίθμηση. Οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν τους φυσικούς αριθμούς θεμελιώδεις και μελετούσαν πώς συνδυάζονται για να παραγάγουν άλλες ποσότητες. Μπορείς, για παράδειγμα, να φτιάξεις μια ομάδα 15 λίθων μετρώντας τριάδες. Κάποιοι αριθμοί όμως δεν «χτίζονται» έτσι — δεν υπάρχει τρόπος να πάρεις 17 χωρίς να μετρήσεις έναν-έναν τους λίθους.
Αυτοί οι «πρώτοι» αριθμοί είναι πρωταρχικοί, ατομικοί, θεμελιώδεις. Κάθε μη πρώτος γράφεται μοναδικά ως γινόμενο πρώτων — η «παραγοντοποίησή» του. Γύρω στο 300 π.Χ. ο Ευκλείδης απέδειξε ότι οι πρώτοι είναι άπειροι. Κανείς όμως δεν μπορούσε να εξηγήσει γιατί βρίσκονται εκεί που βρίσκονται. «Από μια άποψη, ακούγεται παράξενο — οι πρώτοι είναι αυτό που είναι. Είσαι πρώτος ή δεν είσαι», λέει ο Maynard. «Αλλά ένας από τους καλύτερους τρόπους να τους κατανοήσεις είναι να τους σκέφτεσαι σαν κάπως τυχαία αντικείμενα».
Οι μαθηματικοί άρχισαν να ψάχνουν νόημα μέσα στην «τυχαία» αυτή διασπορά. Στον Διαφωτισμό κατάρτιζαν τεράστιους πίνακες με αριθμούς και παραγοντοποιήσεις, υπολογίζοντάς τους όσο ψηλά μπορούσαν με κοπιαστικούς αλγορίθμους στο χέρι. Για τον νεαρό Carl Friedrich Gauss, στα τέλη του 18ου αιώνα, αυτοί οι πίνακες έγιναν πάθος. Εκεί βρήκε μια τάξη που είχε διαφύγει επί χιλιετίες.
Μεταξύ 0 και 100 υπάρχουν 25 πρώτοι. Αλλά μεταξύ 1.000 και 1.100 υπάρχουν μόνο 16. Όσο ανεβαίνεις, οι πρώτοι αραιώνουν. Αυτό βγάζει νόημα: το 17 έχει μόνο 16 μικρότερα διαιρετά, ενώ το 117 έχει άλλα 100 να «αποφύγει» — είναι «δυσκολότερο» να είναι πρώτος.
Η συνάρτηση ζήτα του Riemann ορίζεται ως άθροισμα άπειρης σειράς για έναν αριθμό με πραγματικό και φανταστικό μέρος. Καθορίζει τη θέση των πρώτων αριθμών, των πιο θεμελιωδών αντικειμένων της θεωρίας αριθμών.
Ο Gauss σύγκρινε μανιωδώς πλήθη πρώτων σε διαφορετικά διαστήματα, φτάνοντας έως τα τρία εκατομμύρια. Είδε ότι η αραιότητα συνεχίζεται και γίνεται πιο προβλέψιμη όσο ανεβαίνεις. Κατέληξε σε έναν τύπο που προέβλεπε χονδρικά πόσους πρώτους θα βρεις όσο προχωράς στην αριθμητική ευθεία.
Αργότερα στράφηκε σε πιο αφηρημένα ζητήματα στα μαθηματικά και τη στατιστική. Σε έργο του το 1801 ενίσχυσε ακόμη περισσότερο τη σημασία των πρώτων, δείχνοντας ότι είναι κλειδί για υπολογισμούς σε πεπερασμένα αριθμητικά συστήματα. Δεν κατάφερε όμως να αποδείξει την αρχική του εικασία για τη «συχνότητα» των πρώτων. Στα μέσα του 19ου αιώνα, το βάρος αυτό έπεσε στον μαθητή του, τον Bernhard Riemann, έναν νεαρό φοιτητή θεολογίας στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν στη Γερμανία, τον οποίο ο Gauss κέρδισε με τις διαλέξεις του.
Ο Riemann, αποστασιοποιημένος πλέον από τη θεολογία, δεν αποδεχόταν την (φαινομενική) τυχαιότητα των πρώτων και αναζήτησε δομή. Φαντάστηκε μια «μηχανή» που θα περπατούσε πάνω στην πραγματική ευθεία, θα «έπιανε» τους πρώτους και θα προσπερνούσε τους υπόλοιπους. Τα «γρανάζια» αυτής της μηχανής αποτυπώνονται στη συνάρτηση ζήτα του Riemann, που παίρνει ως είσοδο έναν μιγαδικό αριθμό — άθροισμα πραγματικού και «φανταστικού» μέρους, με συντελεστή επί τη ρίζα του –1, δηλαδή i.
Οι μαθηματικοί απεικονίζουν τους μιγαδικούς στο επίπεδο με άξονες το πραγματικό και το φανταστικό μέρος. Κάθε μιγαδικός είναι σημείο εκεί. Βάζεις τον αριθμό στη συνάρτηση ζήτα, κάνεις τους υπολογισμούς και παίρνεις άλλο μιγαδικό ως έξοδο. Σε ορισμένα ειδικά σημεία, η τιμή είναι μηδέν.
Ο Riemann κατάλαβε ότι οι θέσεις αυτών των μηδενικών είναι το κλειδί. Ξεκίνησε από το πρωτόλειο «μοντέλο» του Gauss για τη συχνότητα των πρώτων, που δίνει έναν κατά προσέγγιση αριθμό πρώτων σε κάθε διάστημα. Οι πραγματικές θέσεις όμως δεν ταίριαζαν ακριβώς. Η «απόκλιση» αυτή μπορούσε να περιγραφεί μέσω των μηδενικών της ζήτα. Συγκεκριμένα, η διασπορά διασπάται σε άπειρα αλληλεπιδρώντα «αρμονικά» μέρη, όπως ένας μουσικός φθόγγος σε αρμονικές. Κάθε μηδενικό αντιστοιχεί σε μία αρμονική· το φανταστικό του μέρος δίνει τη συχνότητα, το πραγματικό τη «ένταση». Προσθέτοντας αυτές τις αρμονικές στο μοντέλο του Gauss, πλησιάζεις τη «τέλεια» μηχανή.
Αν βρίσκαμε όλα τα μηδενικά της ζήτα — αν ξέραμε το «ύψος» και την «ένταση» κάθε οργάνου σε αυτή τη συμφωνία των πρώτων — θα εντοπίζαμε ακριβώς όλους τους πρώτους. Ο Riemann ήξερε ότι αυτό είναι ανέφικτο. Κάθε βήμα όμως προς τον εντοπισμό των μηδενικών θα έθετε αυστηρούς περιορισμούς στη συμπεριφορά των πρώτων.
Στο άρθρο του το 1859, ο Riemann διατύπωσε την εικασία του: όλα τα μηδενικά έχουν το ίδιο πραγματικό μέρος, 1/2. Διαφέρουν μόνο στο φανταστικό τους μέρος. Βρίσκονται δηλαδή πάνω σε μια κάθετη ευθεία στο μιγαδικό επίπεδο που τέμνει τον οριζόντιο άξονα στο 1/2. Το πρώτο τέτοιο σημείο, εκτιμούσε, είναι στο 14,13. Το επόμενο στο 21,02.
Έτσι καθιερώθηκε η Υπόθεση Riemann: κάθε μηδενικό της συνάρτησης ζήτα του Riemann βρίσκεται πάνω σε αυτήν την «κρίσιμη» ευθεία, με πραγματικό μέρος ακριβώς 1/2. Η εικασία απλοποιεί δραστικά τη «μουσική» των πρώτων. Χωρίς αυτήν, η συμφωνία είναι αδιευκρίνιστη, με αναρίθμητες συχνότητες σε διαφορετικές εντάσεις. «Η Υπόθεση Riemann λέει ότι όλα τα διαφορετικά όργανα στην ορχήστρα των πρώτων παίζουν ακριβώς στην ίδια ένταση», λέει ο Kontorovich.
Αν αναρωτιέστε γιατί μια παράξενη συνάρτηση στο μιγαδικό επίπεδο συνδέεται τόσο βαθιά με τα δομικά υλικά των φυσικών αριθμών —και γιατί η σχέση τους θυμίζει μουσικές αρμονικές— νιώθετε ένα κλάσμα του δέους των μαθηματικών μπροστά στην Υπόθεση Riemann. Οι εκπλήσσουσες διασυνδέσεις είναι σημάδια για κάτι βαθύτερο. «Οι πιο συναρπαστικές στιγμές στην έρευνά μου είναι όταν ανακαλύπτω ότι δύο μαθηματικά αντικείμενα που δεν είχαν λόγο να σχετίζονται, τελικά σχετίζονται. Μετά είναι μυστήριο να καταλάβεις το γιατί και το πώς», λέει η Lauren Williams από το Harvard University.
Η Υπόθεση Riemann έχει γεννήσει τέτοιες εκπλήξεις σε όλη τη μαθηματική επικράτεια και πέρα από αυτήν, στον φυσικό κόσμο. Το 1972 ο φυσικός Freeman Dyson, στο Institute for Advanced Study στο Princeton, N.J., πήρε τσάι με έναν μαθηματικό που είχε εντοπίσει παράξενες κανονικότητες στα στατιστικά της ζήτα. Ο Dyson τις αναγνώρισε αμέσως: ταίριαζαν με τη θεωρία του για τα ενεργειακά επίπεδα των ατομικών πυρήνων. Βοήθησε απροσδόκητα να λυθεί ένα πρόβλημα καθαρών μαθηματικών, αλλά μέχρι σήμερα η πηγή της σύνδεσης παραμένει σκοτεινή. Από τότε, η Υπόθεση Riemann εμφανίζεται στην τυχαία κίνηση σωματιδίων, στη θεωρία του χάους και ακόμη και στη θεωρία των μελανών οπών.
Οι μαθηματικοί δεν περίμεναν την απόδειξη για να αξιοποιήσουν τη δύναμη της Υπόθεσης Riemann.
