Δύο μαθηματικοί σχεδίασαν ένα νέο «αδύνατο» αντικείμενο όπου η σειρά της διαδρομής αλλάζει το τελικό αποτέλεσμα. Το σχήμα βασίζεται σε σκάλα πάνω σε «φιάλη του Κλάιν» και εισάγει μη αβελιανή συμπεριφορά στα οπτικά παράδοξα.
Ο Robert Ghrist (Πανεπιστήμιο Πενσιλβάνια) και η Zoe Cooperband (U.S. Naval Research Laboratory) παρουσίασαν ένα νέο «αδύνατο» σχήμα που φέρνει για πρώτη φορά μη αβελιανή συμπεριφορά στα οπτικά παράδοξα: η ίδια διαδρομή δεν οδηγεί στο ίδιο αποτέλεσμα όταν αλλάζει η σειρά των βημάτων. Το αντικείμενο στηρίζεται σε μια συνεχή, πολυεπίπεδη σκάλα μοντελαρισμένη πάνω στη φιάλη του Κλάιν και προκύπτει από ένα γενικό πλαίσιο ταξινόμησης των οπτικών παραδόξων που ανέπτυξαν οι δύο ερευνητές.
Τα «αδύνατα» αντικείμενα μοιάζουν συνεκτικά τοπικά αλλά αποτυγχάνουν σε παγκόσμιο επίπεδο. Στις σκάλες του Penrose, για παράδειγμα, ένα έντομο που περπατά νιώθει ότι ανεβαίνει κανονικά, όμως επιστρέφει στο αρχικό υψόμετρο. «Η ουσία ενός παράδοξου είναι: κάνεις τον γύρο και κάτι έχει αλλάξει», λέει ο Ghrist. «Είναι η αναντιστοιχία ανάμεσα στο πού βρίσκεσαι και στο πού νόμιζες ότι είσαι».
Από αυτή τη βάση, οι ερευνητές ξεκίνησαν με μια παραλλαγή της σκάλας του Penrose: μια ορθογώνια διαδρομή όπου η κίνηση γύρω από το πλαίσιο μοιάζει επίπεδη, ενώ μια «σκάλα» που ενώνει αντίθετες πλευρές δημιουργεί αίσθηση ανόδου. Η γεωμετρία αυτή είναι τοπικά συνεπής και στις δύο πορείες, αλλά παγκοσμίως ασύμβατη. Έπειτα «ίσιωσαν» τη διαδρομή και την ένωσαν πάνω σε κύλινδρο, ώστε η αριστερή πλευρά να κολλά στη δεξιά· τότε, ένα έντομο που κινείται δεξιά επιστρέφει ακριβώς στο αρχικό σημείο. Προσθέτοντας μια συστροφή τύπου ταινίας Möbius, η επιστροφή από τον ίδιο βρόχο αναποδογυρίζει τον «πάνω» και τον «κάτω» άξονα όπως τους αντιλαμβάνεται ο περιπατητής.
Αυτό το μονοπάτι, τυλιγμένο ως σκάλα πάνω σε φιάλη του Κλάιν, γεννά το νέο αδύνατο σχήμα. Στην «αδύνατη σκάλα του Κλάιν», η διέλευση από κάθετη ακμή αναστρέφει τον προσανατολισμό —όπως στην ταινία του Möbius— ενώ η διέλευση από οριζόντια ακμή δεν τον αλλάζει —όπως στον κύλινδρο. Ένα οριζόντιο κλειστό μονοπάτι (ανεβαίνεις σκάλα, περνάς διάδρομο, ανεβαίνεις ξανά, και διασχίζεις μια κάθετη ακμή) σε φέρνει πίσω στο «ίδιο» σημείο αλλά ανάποδα. Ένα κάθετο κλειστό μονοπάτι (ανεβαίνεις, περνάς οριζόντια ακμή, κλείνεις τον κύκλο) σε επιστρέφει χωρίς αναστροφή.
Το κρίσιμο νέο στοιχείο αφορά τη σειρά. Αν πρώτα κλείσεις τον οριζόντιο βρόχο και μετά τον κάθετο, προκύπτει ένα καθαρά διαφορετικό τελικό αποτέλεσμα από το να κάνεις πρώτα τον κάθετο και ύστερα τον οριζόντιο: στην πρώτη περίπτωση, εξωτερικά φαίνεται σαν να κατέβηκες εκεί που εσύ ένιωθες ότι ανέβηκες· στη δεύτερη, φτάνεις στο «ίδιο» σημείο όπως το αντιλαμβάνεσαι αφού έχεις ανέβει τρεις «σκάλες». Αυτή η εξάρτηση από τη σειρά ονομάζεται μη αβελιανή —στην άλγεβρα σημαίνει ότι η πράξη A μετά B δεν ισούται με B μετά A— και δεν είχε εμφανιστεί ξανά σε οπτικό παράδοξο. «Στα μαθηματικά ασχολούμαστε συχνά με μη αβελιανά φαινόμενα», σημειώνει ο Ghrist, «αλλά ποτέ δεν είχαν αποτυπωθεί έτσι οπτικά».
