Η ακριβής ιστορία αμφισβητείται, όμως σε κάθε εκδοχή της το τέλος είναι ζοφερό. Ένας άνθρωπος ανακαλύπτει μια νέα μαθηματική αλήθεια και χάνει τη ζωή του γι’ αυτήν.
Σε όλες τις αφηγήσεις, ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ίππασος ο Μεταποντίνος πνίγεται στη θάλασσα, τιμωρημένος είτε από τους θεούς είτε από τους ομοίους του. Το «έγκλημά» του; Στις περισσότερες εκδοχές, η ανακάλυψη ότι υπάρχουν αριθμοί που δεν μπορούν να εκφραστούν ως ακριβές κλάσμα, με τα δεκαδικά τους ψηφία να συνεχίζονται χωρίς επανάληψη στο άπειρο.
Αυτοί οι άρρητοι αριθμοί –όπως η τετραγωνική ρίζα του 2 ή το π– αναστάτωσαν βαθιά τους Πυθαγόρειους, που ίσως και να τον πέταξαν στη θάλασσα επειδή τους έφερε στο φως.
Περισσότερα από 2.000 χρόνια αργότερα, οι άρρητοι αριθμοί ενσωματώθηκαν στα μαθηματικά θεμέλια της κβαντικής μηχανικής. Οι φυσικοί που διατύπωσαν τους πρώτους τύπους της θεωρίας δεν χρειάστηκε να αντιμετωπίσουν φουρτουνιασμένες θάλασσες, όμως οι συνάδελφοί τους χαρακτήριζαν το έργο τους σοκαριστικό, στα όρια του αιρετικού.
Εδώ και έναν αιώνα έχουμε συμφιλιωθεί με τους άρρητους αριθμούς, παρότι ο κβαντικός κόσμος που τους περιλαμβάνει παραμένει παράδοξος. Εκεί υπάρχουν σωματίδια που ίσως να μην υπάρχουν αν δεν τα παρατηρούμε, αλλά και η διεμπλοκή, που μπορεί να συνδέει δύο σωματίδια σε ολόκληρο τον κόσμο, σε αυτό που ο Άλμπερτ Αϊνστάιν αποκάλεσε «spooky action at a distance».
Όμως ένας φυσικός υποστηρίζει ότι δεν χρειάζεται να είναι έτσι. «Κανείς δεν είναι απόλυτα ευχαριστημένος με όσα συμβαίνουν [στην κβαντική μηχανική], αλλά οι περισσότεροι φυσικοί λένε: “Κοιτάξτε, απλώς χρησιμοποιώ τη θεωρία επειδή προβλέπει τα σωστά πράγματα”», λέει ο Tim Palmer από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης.
Σε μια τολμηρή νέα πρόταση, έχει διαμορφώσει μια διέξοδο από αυτή τη δυσαρέσκεια: να αποβληθούν οι άρρητοι αριθμοί που κόστισαν τη ζωή του Ίππασου.
Ο Palmer υποστηρίζει ότι αυτή η νέα θεωρία δεν θα είχε τις παραδοξότητες της κλασικής κβαντικής μηχανικής. Η διεμπλοκή και η «τρομακτική» της διάσταση θα έλειπαν, όπως και η αλλόκοτη φύση των υπερθέσεων που επιτρέπουν δύο αντιφατικές πιθανότητες ταυτόχρονα.
Κυρίως, η ορθολογική κβαντική μηχανική του, η RaQM, θα έθετε θεμελιώδες όριο στη δύναμη των κβαντικών υπολογιστών. Αυτό σημαίνει ότι όχι μόνο θα μπορούσε να ελεγχθεί σύντομα, αλλά ίσως και να απειλήσει μια βιομηχανία αξίας δισεκατομμυρίων.
Στην πράξη, αν η πρόταση του Palmer είναι σωστή, οι κβαντικοί υπολογιστές τελικά δεν θα μπορέσουν να τρέξουν τον διάσημο αλγόριθμο του Shor —μια κβαντική μέθοδο για την παραγοντοποίηση πολύ μεγάλων αριθμών που θα μπορούσε να σπάσει τα ευρέως χρησιμοποιούμενα συστήματα κρυπτογράφησης— διαλύοντας δεκαετίες ονείρων που, από τη δεκαετία του 1990, τροφοδότησαν και δικαιολόγησαν την ανάπτυξή τους.
«Αυτό θα είχε σίγουρα μεγάλο αντίκτυπο στους κβαντικούς υπολογιστές, αλλά θα ωχριούσε μπροστά στην επίδραση που θα είχε στη φυσική, η οποία θα ήταν η μεγαλύτερη επανάσταση από την ίδια την κβαντική μηχανική», λέει ο Howard Wiseman από το Griffith University στην Αυστραλία.
### Εξαλείφοντας την παραδοξότητα
Για να είμαστε σαφείς, ο Palmer δεν είναι Πυθαγόρειος. Δεν έχει πρόβλημα με τους άρρητους αριθμούς καθαυτούς. Για εκείνον, ο πραγματικός μαθηματικός «ένοχος» στην ιστορία της κβαντικής μηχανικής είναι ο John von Neumann, που διαμόρφωσε το πρώτο αυστηρό της πλαίσιο.
Στα μαθήματα κβαντικής μηχανικής εξακολουθούν να διδάσκονται τα μαθηματικά του von Neumann, με αφετηρία τον χώρο Hilbert, το μαθηματικό πεδίο όπου εκτυλίσσεται όλη η κβαντική δράση.
Για να αναλυθεί η συμπεριφορά ενός κβαντικού αντικειμένου, όπως ένα ηλεκτρόνιο, ή για να προβλεφθεί η μελλοντική του συμπεριφορά, οι φυσικοί του αποδίδουν ένα μαθηματικό αντικείμενο που «ζει» στον χώρο Hilbert. Σε έναν τρισδιάστατο χώρο Hilbert, μπορεί κανείς να το φανταστεί ως ένα βέλος που δείχνει το σημείο που ορίζεται από τρεις αριθμούς για βάθος, ύψος και μήκος.
Το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιείται στον χώρο Hilbert εξαρτάται από το τι θέλει κανείς να μετρήσει. Η μέτρηση του spin ενός ηλεκτρονίου ή της θέσης του απαιτεί διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων. Αφού επιλεγεί ένα από αυτά, μπορεί κανείς να σχεδιάσει το βέλος και να χρησιμοποιήσει το μήκος του για να υπολογίσει την πιθανότητα της μέτρησης.
Παραδοσιακά, στον χώρο Hilbert επιτρέπονται όλα. Βέλη κάθε είδους είναι καλοδεχούμενα. Αυτό συμβαίνει επειδή ο χώρος Hilbert είναι συνεχής. Από αυτή την άποψη μοιάζει με την αριθμογραμμή: αν μεγεθύνεις σε οποιοδήποτε σημείο, βρίσκεις πάντα κι άλλους αριθμούς.
Ο Palmer όμως υποστηρίζει ότι αυτή η ανοχή προς όλους τους αριθμούς βρίσκεται στη ρίζα των προβλημάτων της κβαντικής μηχανικής.
Στη RaQM, δεν επιτρέπονται όλα τα βέλη, αφήνοντας μαθηματικά κενά στον αφηρημένο χώρο που καταλαμβάνουν. Κάθε βέλος του οποίου το μήκος θα έδινε τετράγωνο άρρητο αριθμό αποκλείεται πλήρως.
Είναι σαν να έψαχνες στην αριθμογραμμή την τετραγωνική ρίζα του 2, να ζουμάριζες στο διάστημα ανάμεσα στο 1 και το 1,5 όπου κανονικά θα βρισκόταν και να έβρισκες μόνο ένα κενό. «Η φύση απεχθάνεται το συνεχές», λέει ο Palmer.
Η κλασική κβαντική μηχανική έχει εντυπωσιακή επιτυχία και έχει αντέξει έναν αιώνα αυστηρών πειραματικών ελέγχων. Ο Palmer λέει ότι η RaQM συνάδει με αυτά τα ευρήματα. Το «κόσκινο» της RaQM είναι τόσο λεπτό, που σε όλα εκείνα τα πειράματα μπορεί να εκληφθεί ως το συμπαγές, δίχως οπές, δοχείο της παραδοσιακής κβαντικής μηχανικής.
Όμως τα οφέλη από την αποδοχή της RaQM είναι εντυπωσιακά, πολλά και με βαριές συνέπειες.
Πρώτα απ’ όλα, η RaQM δεν έχει τις παραδοξότητες της συμβατικής κβαντικής μηχανικής. Για να το δείξει αυτό, ο Palmer εστιάζει στο πείραμα Bell. Ονομάστηκε έτσι από τον φυσικό John Stewart Bell και είναι ένα διάσημο πείραμα με σωματίδια που συνδέονται μέσω κβαντικής διεμπλοκής.
Φανταστείτε ζεύγη διεμπλεγμένων σωματιδίων που παράγονται επανειλημμένα, με το ένα σωματίδιο από κάθε ζεύγος να πηγαίνει σε μια πειραματίστρια που ονομάζεται Alice και το άλλο σε έναν μακρινό πειραματιστή, τον Bob.
Η Alice και ο Bob επιλέγουν ανεξάρτητα ποια ιδιότητα των σωματιδίων θα μετρήσουν. Η Alice μπορεί να ελέγξει αν το πρώτο της σωματίδιο έχει «spin up» ή «spin down» ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση. Για το επόμενο σωματίδιο, μπορεί να μετρήσει το spin ως προς την οριζόντια διεύθυνση, και ούτω καθεξής. Ταυτόχρονα, ο Bob επιλέγει κι εκείνος ανεξάρτητα τον τρόπο μέτρησης των δικών του σωματιδίων, χωρίς όμως να υπάρχει επικοινωνία μεταξύ τους.
Μόνο στο τέλος του πειράματος συγκρίνουν τα δεδομένα τους σε μια ανισότητα που είχε διατυπώσει ο Bell τη δεκαετία του 1960, η οποία ελέγχει τις συσχετίσεις ανάμεσα στις μετρήσεις της Alice και του Bob.
Κάποιες συσχετίσεις μπορεί να προκύψουν τυχαία, όμως ο Bell όρισε ένα όριο που δείχνει ότι τα σωματίδια συσχετίζονται με μη τοπικό τρόπο, επηρεάζοντας το ένα το άλλο με κάποιον τρόπο σε μεγάλες αποστάσεις.
Επί δεκαετίες πειράματα, μεταξύ των οποίων και εκείνα που τιμήθηκαν με το Νόμπελ Φυσικής του 2022, έχουν δείξει σταθερά ότι τα κβαντικά φαινόμενα διατηρούνται σε τεράστιες αποστάσεις. Όμως το πώς πρέπει να ερμηνευτεί αυτή η φαινομενική μη τοπική σύνδεση παραμένει ανοιχτό ερώτημα.
Ορισμένες ερμηνείες της κλασικής κβαντικής μηχανικής αποδέχονται απλώς τη μη τοπικότητα. Άλλες φτάνουν στο σημείο να υποστηρίξουν ότι κάποιος φυσικός νόμος προαποφασίζει τις μετρήσεις —ότι οι φαινομενικές συσχετίσεις δεν προκύπτουν από κάποια «τρομακτική δράση», αλλά από περιορισμούς στην ελευθερία επιλογής της Alice και του Bob.
Ένα από τα πιο παράξενα σημεία του πειράματος Bell, σύμφωνα με ορισμένες ερμηνείες, είναι ότι ένα σωματίδιο έχει μόνο τις ιδιότητες που μετράμε. Αν η Alice μετρήσει κατακόρυφο spin, το σωματίδιό της δεν έχει συγκεκριμένη τιμή για το οριζόντιο spin μέχρι να το παρατηρήσει.
Η θεωρία του Palmer κόβει αυτόν τον γόρδιο δεσμό.
Στη RaQM, η ελευθερία βούλησης παραμένει άθικτη, όμως υπάρχουν απλώς ορισμένες μετρήσεις που δεν είναι δυνατόν να γίνουν. Η εγκατάλειψη του συνεχούς και η υιοθέτηση μιας πιο «πλεγματικής» εικόνας φαίνεται πως κάνει ορισμένες απαγορευμένες μετρήσεις να πέφτουν μέσα σε μαθηματικές ρωγμές της πραγματικότητας.
Ο Palmer λέει ότι μια προσεκτική ανάλυση του πειράματος Bell δείχνει πως αυτές οι μετρήσεις που λείπουν είναι εκείνες που προκύπτουν αντιπαραθετικά, δηλαδή μετρήσεις που η Alice θα μπορούσε να έχει κάνει, αλλά δεν έκανε.
«Όλη η ερμηνεία του πειράματος Bell αλλάζει εντελώς, εντελώς, εντελώς. Δεν χρειάζεσαι πια καμία μη τοπικότητα, ούτε το παράξενο “spooky action at a distance”», λέει. Στη δική του οπτική, η προσεκτική επανεξέταση του ποια κβαντικά states είναι θεωρητικά δυνατά μπορεί να λύσει κάθε είδους παράξενα κβαντικά σενάρια, ακόμη και το διάσημο νοητικό πείραμα του Erwin Schrödinger, στο οποίο μια γάτα βρίσκεται, χωρίς να παρατηρείται, σε μια αλλόκοτη μίξη δύο καταστάσεων: ζωντανή και νεκρή.
Η εγκατάλειψη των άρρητων αριθμών και του συνεχούς του χώρου Hilbert στη RaQM έχει σημασία και σε πρακτικό επίπεδο για την κβαντική πληροφορική.
Μέσα σε έναν κβαντικό υπολογιστή, η πληροφορία κωδικοποιείται στις κβαντικές καταστάσεις αντικειμένων που ονομάζονται qubits. Για να χειριστεί κανείς την πληροφορία, κάνει τα qubits να αλληλεπιδρούν ή τα διεμπλέκει. Αυτά τα βήματα κβαντικής υπολογιστικής μπορούν στη συνέχεια να χρησιμοποιηθούν για υπολογισμούς που είναι αδύνατοι για όλους τους συμβατικούς υπολογιστές.
Σημαντικό είναι ότι υπάρχει μόνο ένας μικρός αριθμός προβλημάτων που, όπως έχει αποδειχθεί μαθηματικά, μπορεί να λυθεί μόνο από έναν κβαντικό υπολογιστή. Ένα ξεχωρίζει: ο αλγόριθμος παραγοντοποίησης μεγάλων αριθμών που ανέπτυξε πρώτος ο μαθηματικός Peter Shor το 1994.
Επειδή τα περισσότερα σύγχρονα κλειδιά κρυπτογράφησης βασίζονται στα μαθηματικά της παραγοντοποίησης, ένας κβαντικός υπολογιστής ικανός να τρέξει τον αλγόριθμο του Shor θα ήταν μια εξαιρετικά ισχυρή μηχανή αποκρυπτογράφησης. Γι’ αυτό κυβερνήσεις, εταιρείες και ερευνητές σε όλο τον κόσμο προετοιμάζονται για το Q-Day, τη στιγμή που ένας κβαντικός υπολογιστής θα καταφέρει να υπερβεί όλα τα μέσα προστασίας που σήμερα διασφαλίζουν τις ψηφιακές επικοινωνίες και συναλλαγές μας.
Ωστόσο, οι καλύτερες εκτιμήσεις των ερευνητών λένε ότι αυτή η συσκευή θα χρειαζόταν περίπου 500.000 qubits, εκατοντάδες φορές περισσότερα από τα μεγαλύτερα σημερινά κβαντικά συστήματα. Τα σημερινά qubits είναι επίσης θορυβώδη και επιρρεπή σε σφάλματα, άρα ανεπαρκή για την εκτέλεση σύνθετων υπολογισμών.
Η κατασκευή ενός κβαντικού υπολογιστή ικανού να τρέξει τον αλγόριθμο του Shor είναι εξαιρετικά δύσκολη υπόθεση και τεράστιοι πόροι επενδύονται για να ξεπεραστεί το πρόβλημα. Όμως όλα αυτά θα πάνε χαμένα αν η φυσική πραγματικότητα συμφωνεί με τη RaQM.
Στη RaQM, τα qubits έχουν πεπερασμένη ικανότητα πληροφορίας, επειδή οι κβαντικές τους καταστάσεις υπακούουν σε έναν νέο μαθηματικό περιορισμό. Αν το μέγιστο ποσό πληροφορίας που μπορεί να κωδικοποιηθεί σε μια κβαντική κατάσταση ενός qubit παριστανόταν ως μια ακολουθία από 0 και 1, αυτή η ακολουθία θα ήταν απίστευτα μεγάλη, αλλά πάντως πεπερασμένη.
Ο Palmer έχει εκτιμήσει το μέγιστο μήκος που θα επέτρεπε η RaQM και είναι απολύτως τεράστιο: 2^400, ή περισσότερες από 10 δισεκατομμύρια τετρακισεκατομμύρια τετρακισεκατομμύρια φορές μεγαλύτερο από τον εκτιμώμενο αριθμό όλων των ατόμων στο σύμπαν.
Είναι επίσης ένας αριθμός που θα έφερνε σε δύσκολη θέση έναν κβαντικό υπολογιστή με περισσότερα από 400 απολύτως αψεγάδιαστα qubits —και πάλι πολύ περισσότερα από όσα διαθέτουμε σήμερα. Η εκτέλεση ενός αλγορίθμου όπως του Shor, που προϋποθέτει την παραδοσιακή κβαντική μηχανική, θα απαιτούσε κβαντικές καταστάσεις ικανές να περιέχουν περισσότερη πληροφορία από ακολουθίες bit με 2^400 εγγραφές.
Καθώς αυτό ξεπερνά το μέγιστο δυνατό μήκος ακολουθίας στη RaQM, ο Palmer προβλέπει ότι ένας τέτοιος κβαντικός υπολογιστής θα αποτύχει.
Έτσι, δεν θα υπήρχε παραγοντοποίηση μεγάλων αριθμών ούτε σπάσιμο κρυπτογράφησης. Αν όμως ένας μελλοντικός κβαντικός υπολογιστής μπορέσει τελικά να το κάνει, τότε η RaQM καταρρέει.
«Αν μπορέσουν να παραγοντοποιήσουν έναν μεγάλο αριθμό, η θεωρία μου είναι λανθασμένη και είμαι χαρούμενος να αποχωρήσω και να κάνω κάτι διαφορετικό», λέει ο Palmer. Παρ’ όλα αυτά, εμφανίζεται βέβαιος. Η λύση παλιών μυστηρίων, όπως το πείραμα Bell, τον κάνει να πιστεύει ότι βρίσκεται στον σωστό δρόμο.
Τα διακυβεύματα είναι τεράστια και επιβάλλουν προσεκτική εξέταση της RaQM ως θεωρίας που εξηγεί τα κβαντικά θεμέλια του κόσμου μας. Δύο ερωτήματα γίνονται αναπόφευκτα.
Το πρώτο είναι γιατί ο χώρος Hilbert θα έπρεπε εξαρχής να αντικατασταθεί από κάτι μη συνεχές. Οι φυσικοί ίσως έχουν συνηθίσει να δουλεύουν με συνεχείς, και όχι διακριτές, θεωρίες —με λεία πεδία αντί για πεδία που μοιάζουν με κόσκινο— όμως τέτοιες προσεγγίσεις αμφισβητούνται περισσότερο από μαθηματικούς και ειδικούς στην επιστημονική θεωρία της πληροφορίας, λέει ο Stephen Hsu από το Michigan State University.
Υπάρχει πολύ ισχυρό επιχείρημα ότι πλευρές των μαθηματικών που βασίζονται στο συνεχές δεν είναι τόσο αυστηρές όσο εκείνες που στηρίζονται σε πεπερασμένα, διακριτά μέρη, σημειώνει.
Αυτό συμβαίνει επειδή οι συνεχείς αριθμοί οδηγούν αναπόφευκτα στο άπειρο. Κάποιοι μαθηματικοί θεωρούν το άπειρο απειλή για τα λογικά θεμέλια της επιστήμης τους, ενώ, όπως λέει ο Hsu, συζητείται επίσης αν το άπειρο μπορεί ποτέ να είναι φυσικό.
«Αν χρειάζομαι άπειρο αριθμό μη επαναλαμβανόμενων ψηφίων για να αναπαραστήσω αυτόν τον [άρρητο] αριθμό… δεν είμαι βέβαιος τι σημαίνει αυτό», λέει ο Hsu.
Το παρόν κείμενο δημιουργήθηκε με τη χρήση τεχνητής νοημοσύνης.
